01引言
由數列的遞推公式求數列的通項公式是高考的熱點內容。
一般出現在大題的第一問中，也會出現在選擇題和填空題中。
遞推公式的類型很多，但是一般分為七種模型，上一節中詳細地講解了類型一，這節中詳細講解類型二的轉化方法和注意事項。
希望通過這幾個類型的學習，同學們都能將該模塊的內容了如指掌，應用自如。
02類型a(n+1)/an=f(n)的轉化方法和注意事項
類型a(n+1)/an=f(n)（n∈N+）的轉化方法一：
數列an的首項a1已知，且數列f(n)的前n項積易求，可採用累乘法。
使用累乘法的具體步驟：
先給遞推公式a(n+1)/an=f(n)(n∈N+)中的n從1開始賦值，一直到n－1；
得到n－1個式子，即a2/a1=f(1)，a3/a2=f(2)，a4/a3=f(3)，…，an/a(n－1)=f(n－1)；
再把這n－1個式子左右兩邊對應相乘化簡，即可得到數列an通項公式。
注意事項：該方法也是n－1個式子，而不是n項。
條件：數列f(n)前n項積易求得，且a1已知。
類型a(n+1)/an=f(n)（n∈N+）的轉化方法二：
數列an的首項a1已知，且數列f(n)的前n項積易求，可用裂項相消的反向還原法。
裂項相消的反向還原法的具體步驟：
根據分子和分母同時乘以一個數不變的原則，則有
an=an/a(n－1)·a(n－1)/a(n－2)·a(n－2)/a(n－3)·…·a3/a2·a2/a1·a1.
因為該式子中每一項都可以約掉，即1/a(n－1)·a(n－1)、1/a(n－2)·a(n－2)、…、1/a2·a2、1/a1·a1乘積都為1；
又因為除了a1外每一項都滿足公式a(n+1)/an=f(n)，即an/a(n－1)、a(n－1)/a(n－2)、a(n－2)/a(n－3)、…、a3/a2、a2/a1、a1.
則有an=f(n－1)·f(n－2)·f(n－3)·…·f(3)·f(2)·f(1)·a1.
注意事項：這裡以f(n－1)開始，以f(1)結束，且後面要乘以a1.
03例題
[2019年高級中學月考改編]已知數列｛an｝的前n項和為Sn，a1=2，3Sn=(n+m)an(m∈R)，則an=?
思路分析：
這道題沒有出現遞推公式，所以要先根據數列an的前n項和Sn，得出數列an的遞推公式才能根據數列an的遞推公式得出數列an的通向公式。
但是這道題中數列an的前n項和出現m這個字母，這是比較少見的，一般給出的題中只有字母n。
所以這道題，我們要將這個字母m先求出來，再根據Sn求出數列an的地推公式，在根據遞推公式得出an的通項公式。
例題具體做法：
第一步，求出m.
因為3Sn=(n+m)an對於n屬於N+都成立，所以3a1=3S1=(1+m)a1，且a1=2，解得到m=2。
第二步，求出數列an的地推公式。
由第一步可知，m=2，則3Sn=(n+2)an，則3S(n－1)=(n－1+2)a(n－1)。
因為an=Sn－S(n－1)，此時n≥2.
則有3an=(n+2)an－(n－1+2)a(n－1)。
整理得到，（n－1）an=(n+1)a(n－1)，即an/a(n－1)=(n+1)/(n－1)。
第三步，求出an的通項公式。
an=an/a(n－1)·a(n－1)/a(n－2)·a(n－2)/a(n－3)·…·a3/a2·a2/a1·a1.
則an=(n+1)/(n－1)·n/(n－2)·(n－1)/(n－3)·(n－2)/(n－4)·…·5/3·4/2·3/1·a1
=n(n+1)/2·a1
=n(n+1)
第四步，驗證a1。
因為a1=2，當n=1時代入an=n(n+1)=2，所有當n=1時數列an也成立。
綜上所述，數列an的通項公式為an=n(n+1)。
04總結
數列中求數列的通項公式，一般都離不開遞推公式；求遞推公式一般離不開該數列的前n項和；而該數列的前n項和中只能存在一個字母n，代表項數，如果出現的其他的字母，則可以通過令當n=1時，即a1或者是已知項數得出該字母的數值。
上述例題中該需要注意：
該題中相消的項是當n取偶數項時或者是當n取奇數項時，所以最好是將整個數列的擴充從新編排，即奇數項放在一起，偶數項放在一起，這樣就可以清楚最後剩下哪些項，避免出錯。
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