求數列|bn|前n項和需注意哪些?易錯題,不知這些會再錯,須知點

2020-12-22 玉w頭說教育

01原題

設Sn為等差數列｛an｝的前n項和，n∈N+，且a2=15，S5=65.

⑴求數列｛an｝的通項公式；

⑵設數列｛bn｝的前n項和為Tn，且Tn=Sn－10，求數列｛|bn|｝的前n項和Rn。

題一

該題是一個數列的題型，上述需要注意點也是做數列題型需要注意的點，所以該注意的點需要掌握，否則怎麼扣分都不知道。

下面就在講解題的過程中來詳細的說明。

02第一問解答

第一問是求數列an的通項公式。

求出數列an的通項公式一般就是需要求出數列的公差和首項。

第一步，求出數列an的公差。

根據等差數列的前n項和公式Sn=(a1+an)n/2，且S5=65，則S5=(a1+a5)×5/2=65，解得到a1+a5=26.

根據等差數列的基本性質，則有2a3=a1+a5，則a3=13.

根據等差數列公差d=a3－a2，則d=13－15=－2.

第二步，求出數列an的首項。

根據an=a(n+1)－d，則a1=a2－d，a1=17.

第三步，求出數列an的通項公式。

根據等差數列的通項公式an=a1+(n－1)d，由第一步和第二步可知d=－2,a1=17，則有an=17+(n－1)(－2)，即an=19－2n。

圖二

綜上所述，數列an的通項公式為an=19－2n。

03第二問解答和注意事項

第二問的思路：

根據數列an求出Sn，根據Sn求出Tn，根據Tn求出數列bn，根據bn求出|bn|的前n項和。

第二問解法：

第一步，求出Tn。

由第一問可知，數列an的首項a1為17，公差d為－2.

根據等差數列的前n項和公式，則Sn=na1+1/2n(n－1)d，則Sn=18n－n^2.

因為Tn=Sn－10，所以Tn=18n－n^2－10.

第二步，求出bn的通項公式。

根據bn=Tn－T(n－1)，且T(n－1)=18n－18－n^2+2n－1－10=20n－n^2－29，則

bn=18n－n^2－10－20n+n^2+29=19－2n。

圖三

注意事項1：此時n≥2，所以還需驗證n=1是否成立。

第三步，驗證b1.

因為b1=T1=18－1－10=7，將n=1代入bn=19－2n中，則有b1=19－2=17.

此時7≠17，所以當n=1時不符合數列bn的通項公式。

綜上所述，數列bn的通項公式為bn=7,n=1和bn=19－2n,n≥2.

第四步，求出bn等於0的臨界點。

令bn=0，則19－2n=0，解得到n=9.5.

當n<9.5時，數列bn為正數。

當1≤n≤9時，數列|bn|的前n項和等於數列bn的前n項和；

當n≥10時，數列|bn|的前n項和等於數列bn前n項和的相反數。

圖四

第五步，求出數列|bn|的前n項和。

因為Rn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|，且數列bn的前9項大於0，則

Rn=b1+b2+b3+…+b9－(b10+b11+…+bn)

=2（b1+b2+b3+…+b9）－(b1+b2+b3+…+b9+b10+b11+…+bn)

=n^2－18n+152

直接得出上述這個前n項和Rn對不對？

至少要扣一半分！！！

注意事項2：數列bn出現絕對值，即求數列|bn|的前n項和時，需要分別說明n的取值範圍。

上述的解答只是求出數列|bn|當n≥10時的前n項和，但是還需注意的是，還有當1≤n≤9的時候的數列的前n項和。

這是比較簡單的，但是也恰恰是容易忽視的。

圖五

正確答案：

當1≤n≤9時，數列|bn|的前n項和=數列bn的前n項和。

此時Rn=|b1|+|b2|+|b3|+…+|bn|=b1+b2+b3+…+bn=－n^2+18n－10；

當n≥10時，數列|bn|的前n項和≠數列bn的前n項和。

此時Rn=b1+b2+b3+…+b9－(b10+b11+…+bn)=n^2－18n+152.

綜上所述，數列|bn|的前n項和Rn=－n^2+18n－10，1≤n≤9和Rn=n^2－18n+152，n≥10.

04總結

求數列｛|bn|｝的前n項和Rn時應該注意的問題也是本題的易錯之處：

第一，在求數列bn時需要驗證b1，這也是很多同學做題時易忘記或者忽視的地方；

第二，當數列bn加上絕對值後求解前n項和的過程中，會有很多同學忘記考慮當1≤n≤9時的數列前n項和，直接認為你n是大於9的情況。

求解含有絕對值的數列的前n項和的時候，它的關鍵點：就是要判斷出數列各項的符號，從而求掉絕對值符號，將問題轉化成普通數列前n項和的求解。

圖六

相關文章：

分段函數單調性需要注意哪些？易錯題，很多同學中招，因不知這些

函數零點問題的突破點——各個類型大全，高考數學必考內容

純乾貨：已知函數單調性求參數範圍類型題轉化大全，突破點全在這

數列的拓展——與抽象函數相結合，掌握思路和這些點，該類型秒解

高考必考內容乾貨，函數基本知識點穿線大全，仔細閱讀絕對是飛躍

相關焦點

  • 求數列通項?你還在埋頭苦刷題嗎?做題須注意這些才能取得高效果
    ⑴求a2，a3，a4的值；⑵證明：數列｛1/an｝為等差數列；⑶設Cn=ana(n+1)，求數列｛Cn｝的前n項和Sn.｛Cn｝的前n項和Sn為n/(2n+1)。求數列｜bn｜前n項和需注意哪些？易錯題，不知這些會再錯，須知點
  • 三角函數與數列結合的易錯題,需注意哪幾點?與以往不同是新題型
    ⑴求數列｛an｝的通項公式；⑵設bn=sinan，求數列｛bn｝的前n項和Sn。那在求這個解集在轉化成數列｛an｝的通項時，我需要注意哪些事項呢？第二問中求數列bn的前n項和又要注意哪些？與之前的數列求和又有哪些不同？下面我們就講解該題的過程中詳細的講解解題步驟和具體的注意事項。
  • 類型一:由a(n+1)-an=f(n)求通項,方法和注意事項看這,歸類內容
    1)－an=f(n)（n∈N+）型，數列｛an｝的首項a1已知，且數列｛f(n)｝的前n項和易求，採用累加法。注意事項：在累加的過程中總共是n－1項，即從a2到an。這個地方時很多同學以忽視，且易錯的地方，往往很多同學直接將其定義為n項。
  • 求數列通項?不簡單!不會這樣構建真解不出來,一種構建的新模型
    01原題再現[全國二卷理科題]已知數列｛an｝和｛bn｝滿足a1=1，b1=0，4a(n+1)=3an－bn+4，4b(n+1)=3bn－an－4.求數列｛an｝和｛bn｝的通項公式。這樣的遞推公式該怎麼求出數列的｛an｝和｛bn｝的通項公式呢？下面我們就拉詳細的說明。02該題的思路解析該題的思路解析：對於給出這樣的遞推公式，我們不能在一個數列一個數列的求通項公式了，我們需要求出數列an和bn的整體.
  • 高中數學,拿下數列大題第2講,證明等比數列及求前n項和
    高中數學，拿下數列大題第2講，證明等比數列及求前n項和，高考數學專題訓練。第（1）問，把證明{bn}是等比數列，轉化為證明①式成立，這是關鍵的第一步，能想到這一步，就有了證明的目標，接下來根據已知條件朝這個目標推理就可以了。
  • 高考數列大題證Sn<2+2㏑2?媒介和該不等式須知,一般沒見過都不知
    ⑴求a3的數值；⑵求數列｛an｝的前n項和Tn；⑶令b1=a1,bn=T(n－1)/n+(1+1/2+1/3+…+1/n)an(n≥2)，證明：數列｛bn｝的前n項和Sn滿足Sn<2+2㏑n。要想求出數列｛an｝的前n項和Tn，首先就是要求出數列｛an｝的通項公式，再根據數列｛an｝的通項公式求出數列｛an｝的前n項和Tn。那數列｛an｝的通項公式該怎麼求呢？
  • 數列bn和an的關係2^bn=a1a2a3……an求bn?重在指數和對數的轉化
    原題原題：等比數列「an」的首項為2，數列「bn」滿足2^(bn)=a1a2a3…an，b4=b3+4，則bn=?圖二之後再根據給出的b4=b3+4列出式子和an是等比數列的條件，就可以求出bn通項公式。
  • 高中數學:求數列前n項和的7種方法
    求數列的前n項和要藉助於通項公式，即先有通項公式，再在分析數列通項公式的基礎上，或分解為基本數列求和，或轉化為基本數列求和。當遇到具體問題時，要注意觀察數列的特點和規律，找到適合的方法解題。二、用公式法求數列的前n項和對等差數列、等比數列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數列的前n項和公式進行求解。運用公式求解的注意事項：首先要注意公式的應用範圍，確定公式適用於這個數列之後，再計算。點撥：這道題只要經過簡單整理，就可以很明顯的看出：這個數列可以分解成兩個數列，一個等差數列，一個等比數列，再分別運用公式求和，最後把兩個數列的和再求和。
  • 類型四:由a(n+1)=pan+rq^n求通項?雙層構建難度大,不會別錯過
    1)=pan+rq^n求通項方法和注意事項待定係數法：a(n+1)=pan+rq^n（pqr≠0）型，數列｛an｝的首項a1已知，一般利用待定係數法構建等比數列或者等差數列求通項公式。令bn=an/q^n，則①式可轉化為b(n+1)=p/q·bn+r/q.當p=q時，數列｛bn｝為等比數列；當p≠q時，數列｛bn｝可以根據類型三進行轉化，求出數列bn通項公式，再根據數列bn通項公式求出數列an通項公式。
  • 類型五:an=ma(n-1)/「ka(n-1)+c」求通項?思路不同一般都不會構建
    將bn+k/(c－m)看成一個整體，則數列｛bn+k/(c－m)｝就是一個等比數列。根據等比數列的通項求出數列｛bn+k/(c－m)｝的通項，再由數列｛bn+k/(c－m)｝的通項求出數列｛bn｝的通項，即數列｛1/an｝的通項。第三步，求出數列｛an｝的通項。
  • 類型二:由a(n+1)/an=f(n)求通項?歸類內容,常考類型,方法須知
    一般出現在大題的第一問中，也會出現在選擇題和填空題中。遞推公式的類型很多，但是一般分為七種模型，上一節中詳細地講解了類型一，這節中詳細講解類型二的轉化方法和注意事項。1)/an=f(n)的轉化方法和注意事項類型a(n+1)/an=f(n)（n∈N+）的轉化方法一：數列an的首項a1已知，且數列f(n)的前n項積易求，可採用累乘法。
  • 高中:由數列的遞推公式到數列的通項公式的轉化方法?在這
    原題原題：已知數列｛an｝的前n項和Sn滿足2Sn=(n+1)an(n∈N+)，且a1=2.⑴求數列｛an｝的通項公式；⑵設bn=(an－1)2^(an)，求數列｛bn｝的前n項和Tn。這道題要想求出數列an的通項公式，就要想從等式2Sn=(n+1)an入手，導出數列an的遞推公式，然後再根據數列的遞推公式得到數列的通項公式。
  • 數列的拓展——與抽象函數相結合,掌握思路和這些點,該類型秒解
    數列｛an｝滿足a1=－1，Sn/n=2an/n+1，其中Sn是數列｛an｝的前n項和，則f(a5)+f(a6)=?a5和a6的數值，要想求出a5和a6的數值就要得出數列an的遞推公式或者是通項公式。所以該題的入手點就是根據題中給出的Sn/n=2an/n+1得出數列an的遞推公式或者通項公式。
  • 類型六、七求數列通項?須轉變函數,方法很重要,沒見過的都不會
    類型六的構建思路和類型五相似，是比較簡單的，主要是類型七的構建。對於之前的構建都是不斷地去轉化遞推公式形式，將遞推公式同時除以一個數或者乘以一個數來轉化，今天的類型七這些方法都不適用，需要轉化函數才能求出相應的通項公式。
  • 數列裂項相消新模型,級次升級依然可用,但你未必認識,奇蹟見證
    ⑴求｛an｝的通項公式；⑵若數列｛bn｝滿足bn=(2n+1)/[n^2·(a(n+1)－1)^2]，求｛bn｝的前n項和Tn。02第一問的解答第一問就是求數列｛an｝的通項公式。對於題中給出數列an的前n項和的關係式的時候，一般都是結合式子an=Sn－S(n－1)來消掉數列an的前n項和Sn，得出數列an的遞推公式，再由數列an的遞推公式得出數列的an的通項公式。
  • 【每日一題】等差數列
    等差等比數列，數列的4種求和，由數列遞推式求解數列的通項公式等是高考的熱點，所以，同學們在複習的時候，需要把這些常考的方法總結下來
  • 吳國平:圈起來,這個一般會考到,怎麼求數列遞推問題以及通項公式
    通過遞推數列來求通項類數列問題，很多時候我們都會碰到與函數、方程、不等式、三角、幾何等知識相結合的綜合問題。遇到此類問題，我們要學會利用第n與前n項和關係、構造等比等差數列、累積累差等求數列通項公式方法，提高將非特殊數列問題轉化為特殊數列問題及利用等比等差數列通項公式解題能力和分析問題解決問題能力。此類考查很多時候出現在小題或大題的第一小題中，是有一定難度的題目。
  • 求8/9首次出現的項數?易錯題,沒做過的一般都會錯,須掌握方法
    於是得出：第9組前八組的項數為：1+2+3+4+…+8=36；再用36+8=44就是8/9首次出現的項數，於是選擇答案A.對不對？錯！05方法總結給出數列的前幾項，通過尋找規律完成相關的計算，需仔細觀察分析，抓住以下幾個方面的特徵，
  • 數列知識點歸納總結,收!
    ： x , A , y成等差數列: 2A=x+y前n項和:n2d ;（3）若三個成等差數列，可設為a-d,a,a+d ;（4）若an，bn是等差數列，且前n項和分別為Sn,Tn,則（5）{an}為等差數列，則Sn=an2+bn（a,b為常數，是關於n的常數項為0的二次函數）,Sn的最值可求二次函數Sn=an2+bn的最值；或者求出{an}中的正、負分界項，即：當a1>0,d<
  • 高中數學,已知前n項和Sn的表達式,求數列的通項,系列課程1
    從這一節課開始，咱們講解各種求數列通項的題型，本節課講解第一種題型，即已知數列前n項和Sn的表達式，求通項，這種題型不難，它有固定的解法，先求出數列的前n－1項和Sn－1，則數列的第n項就等於前n項和Sn減去前n－1項和Sn－1，要注意的是，S的下標是大於等於1的整數，要使用前n－1項和符號Sn