「微元法」思想是積分學中重要的思想方法，在實際生活中有非常廣泛的應用。合理有效的利用微元法思想可以使原本複雜的問題變得簡單易行, 本節將主要講述微元法的思想及其發展，帶你走進數學家們的心路歷程，領略智慧高點魅力。
1 微元法思想的起源和發展
雖然微元法思想是積分學的重要思想，但微元法思想的起源則是依賴於微分學起源和發展。微元法思想萌芽、發生與發展經歷了漫長的歷史過程。
微元法思想的萌芽最早可追溯到公元前300年左右，古希臘偉大的數學家、力學之父阿基米德在解決拋物線圍成的面積、球形面積和雙曲旋轉體的體積等問題時就已經有了關於微分然後再積分的想法。
阿基米德
阿基米德之後，微積分思想沒有實質性的突破和發展，直到17世紀上半葉近代微積分開始醞釀。微元法思想的發展始於社會和自然科學發展的驅動，如火松製造、礦山開發、行星運動規律和航海等需要力學和一系列有關數學的問題，迫切的需要運用數學工具去解決這些問題。
這些應用問題可概括為以下四類：
（1） 確定非勻速運動物體的瞬時速度的問題；
（2）曲線的切線問題；
（3）求炮彈最大射程及行星近日點和遠日點等設計的函數的最值問題；
（4）由行星軌道運動路程、行星矢徑掃過的面積及物體重心與引力等引起的求不規則曲線弧長、不規則圖形的面積、不規則物體的體積、以及物理學中的萬有引力等問題。
以上問題激發了數學家們的研究興趣，當時幾乎所有的科學家都致力於尋求解決以上問題的數學工具。這裡不再一一列舉對微積分做出貢獻的其他學者，但不得不提對微積分貢獻最為突出的兩位大神——牛頓和萊布尼茨。
◆牛頓的微積分
對於牛頓我們不用多說，幾乎所有人都知道牛頓在物理和數學上的貢獻：微積分、力學、光學等等，我們無法想像一個人能在這麼多領域有如此重大的成就，所以稱之為科學巨人一點也不為過。
牛頓
牛頓對微積分問題的研究始於1664年，他閱讀了笛卡爾的《幾何學》和沃利斯的《無窮算術》後對其中的問題產生濃厚的興趣。1665年8月，由於瘟疫流行劍橋大學關閉，牛頓不得不返回家鄉躲避瘟疫。在此期間，牛頓在微積分上的研究取得了突破性的進展，1665年11月他發明了「正流數術」（微分法），1666年5月牛頓建立了「反流數術」（積分法），同年10月他把在微積分方面的研究成果總結成論文《流數簡論》。牛頓的這篇文章標誌著微積分的誕生，可惜牛頓並沒有及時發表這篇文章，也因此引發了後續一系列的問題，即牛頓和萊布尼茨的微積分發明權之爭，這場論戰持續了一個多世紀。
牛頓對微積分的研究是從物理學的角度進行的，他為了解決力學中的運動問題，創造了「流數術」的理論。後來牛頓還創作了許多關於微積分著作如《運用無限多項方程的分析》(1669年)、《流數法與無窮級數》(1671年)、《曲線求積術》(1691年)，這些理論是力的數學反映，牛頓一切變量都看作是流量。
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牛頓手稿
牛頓的「流數術」大致上包含以下三個方面的內容：
已知的流量關係，求流數之間的關係，即積分學內容；已知流數的關係，求相應的流量之間的關係，即微分學內容；流數術的應用：函數極值問題、曲線的切線和曲率問題、曲邊圖形區面積。牛頓建立了積分與微分的互逆關係的理論，即微積分基本公式。
◆萊布尼茨的微積分
萊布尼茨原本在萊比錫大學學習法律，但大學期間他接觸了伽利略、克卜勒、笛卡爾、帕斯卡及牛頓的老師巴羅等人的數學思想，激發了他對數學的興趣，並開始研究曲線的切線及求面積、體積等微積分問題。
萊布尼茨
與牛頓流數術的運動背景不同，萊布尼茨對微積分的研究是從幾何方面進行的，他在研究不規則曲線的切線和不規則曲線所圍的面積時開始了對微積分的研究。
1672年萊布尼茨被派往法國巴黎擔任大使，在巴黎定居法國的四年（1672-1676）取得了微積分研究的重大成果。萊布尼茨藉助笛卡爾的解析幾何，把對數列的研究與微積分運算聯繫起來，把曲線的縱坐標 y 用數列表示出來，並考慮了兩個相鄰縱坐標之差的序列，他發現：求切線不過是求差，求積不過是求和。
我們現在使用的積分符號就是求和"sum"的首寫字母"S"拉長後得到的。除此之外，還有很多數學符號都是萊布尼茨引入的，如微積分中的dx, dy等符號，這些符號簡潔、方便，一直沿用至今。
1684年萊布尼茨在《Acta Eruditorum》上發表了他的第一篇微分學論文《一種求極大與極小值和切線的新方法》，這篇論文是數學史上第一篇正式發表的微積分的文獻。
這裡需要說明的是：儘管牛頓與萊布尼茨各自從不同的方向創立了微積分但殊途同歸，他們對微積分的創立和現代數學的發展做出了巨大的貢獻，在優先權問題上我們不做過多評價和論述，我們認為他們的貢獻是相同的；另外，他們對微積分的貢獻都創立了微積分且較為完整，但在某些方面仍存在缺點和不足，如對於無窮小量的說明上並沒有解釋清楚，甚至說是混亂，這也使得起初的微積分理論被很多數學家質疑和批判，這也使得第二次數學危機的產生。
2、微元法的基本思想
說到定積分，我們首先想到的是曲邊梯形的面積，所謂曲邊梯形是指梯形的一條邊不是"直"的而是彎曲的，如圖所示：
由定積分的定義我們知道，解決定積分的應用問題常用"分割、近似、求和、取極限"來導出所求量的積分形式。
具體來講，對於計算曲線y=f(x)在區間[a , b]上與 x 軸所圍的面積S時，可在區間[a , b] 上任取一點 x， 取寬度為x ，當x 很小時，可以認為在區間[x , x ]上f(x)是一條直線，於是有這個小矩形的面積可表示為：
dS =f(x)x =f (x)dx
把dS =f (x)dx 稱作為"面積微元"。
微元法
只要把面積微元表示出來，把所以的小矩形面積dS全部累加求和即可得到圖形的面積S值。這種累加是通過積分來實現的，即
那麼，什麼問題可以用定積分來求解呢？
所求量 F是與區間[a , b]上的某分布 f (x) 有關的一個整體量；F對區間[a , b]具有可加性，即可以通過分割、線性化、合併、無限細化表示為
如何應用定積分解決問題呢？
首先，要在區間劃分的基礎上找出能夠很大程度上取代局部部分量的線性近似值，即尋求微分表達式
其次，考慮f(x)選取的可靠性，確保能滿足下列關係
通常情況下，"以直代曲"、"以均勻代非均勻"、"以常代變"，或近似的將[x, x+dx]看成一點的乘積運算就能滿足此要求。
然後，求出整體量的精確值
這種取微元f (x)dx 計算積分的方法稱為微元法。
微元法的本質就是在處理變化的事物或變化的過程時，考慮到一切變化都必須在一定的時間和空間範圍內才可能實現，微元法就抓住了「變化」的這一本質特徵，通過限制變化賴以發生的時間和空間來限制變化，從而將變化的事物或變化的過程轉化為不變的事物或不變的過程，以實現「化變為常」、「化曲為直」的作用。
在具體應用微元法時，我們需要兩步來完成：
（1）求出局部量的近似值dF=f(x)dx；
（2）求出整體量的精確值
其中最重要的是局部量的近似表示，只要把局部量表示正確，只需在自變量x的取值範圍（積分範圍）內進行無限累加（積分）即可得整體量的精確值。
舉例：
本節主要介紹了「微元法」的發展及基本思想，有關微元法的在幾何、物理等方面的應用將在下節給出，敬請期待！