宋元數學奇葩沉埋500多年後再放異彩，天算家焦循功不可沒。
書接上篇。焦循完成關於四則運算規則的專著《加減乘除釋》後，便把收集整理宋元數學典籍之事提入議事日程。
這事要追溯到20多年前。宋元朝是我國傳統數學發展的鼎盛時期，宋朝數學家秦九韶所創的「大衍求一術」、李冶所創的「天元術」，元朝數學家朱世傑獨創的「四元術」等都是我國數學史上非常傑出的成就。曲高和寡，宋元名著《數書九章》（秦九韶著）、《測圓海鏡》（李冶著）、《益古演段》（李冶著）、《四元玉鑑》（朱世傑著）等長期無人問津，幾乎有失傳之厄。這種情況一直持續到清朝乾隆年間。1773年，清朝廷組織專家學者編撰宋元科學典籍，秦九韶等宋元數學家的專著始為人所知。當時的科壇領袖阮元則稱這些作品為「中土數學之寶書也」。
焦循像(葉公綽輯，源自中國紀檢網)
阮元想拯救這些宋元典籍，便請焦循到浙江，與李銳、汪萊等學者校勘和整理專著。焦循正巧也在收集宋元數學典籍，收信後立刻前往杭州。
數學奇葩再放光
1799年11月，浙江學政（主管浙江教育的一把手）阮元府裡，聚集了一批各地來的數學學者，焦循位列其中。阮元便令人捧出新到的《測圓海鏡》、《益古演段》等宋元古籍，讓大家品讀討論。
焦循先談了自己對整理宋元算學典籍的看法，接著分析《測圓海鏡》、《益古演段》在傳統算學史上的地位和作用，最後提出編撰、注釋這些古籍的若干建議。坐主位的阮元頻頻點頭，面露欣喜之色。
焦循旁邊的阮府二位公子專心聽講，時不時進行記錄。焦循另一個身份是阮府的數學教師。阮元此舉，一則的確需要一名家庭教師，二則名正言順地給焦循補貼一些費用，三則是藉此讓焦循安心研究宋元典籍並撰寫專著。不愧是科壇領袖，思慮深遠。
焦循自是明白阮元心意。他一邊兢兢業業教授兩位公子算學和易學知識；一邊夜以繼日地研究宋元數學典籍，遇到問題及時與阮元交流。此次聚會，便是搜尋到《測圓海鏡》、《益古演段》後，通知李銳、汪萊等學者到府中商議。
聚會後，焦循收到了催他回家的家書，遂加緊編撰，於1800年完成了兩卷本的《天元一釋》。作為清朝學者研究宋元數學「天元術」最早的著作之一，此書共分三卷。天元術是指用未知數來列方程的方法，即代數裡的「解方程」。上卷主要闡述了「天元」的含義，並對相關名詞進行解釋。讀透上卷，就掌握了一元高次方程的解題思路。下卷則詳細敘述了《益古演段》（李冶著）等數學典籍的精華，並對書中各種類型的方程解法進行分析。最值一提的是，此卷還指出了「天元術」算法與《九章算術》的淵源關係，這意味著宋元數學與漢魏數學一脈相承。末卷則通過詳細考證，分析了李冶數學理論與秦九韶理論的關係。當時流行 「李演秦說」，即李冶的理論多來自於秦九韶的著作。焦循考證後認為，兩人的著作有相同觀點也有不同觀點，只能是相互影響而不是誰繼承誰的關係。
《天元一釋》書稿(來源：孔夫子舊書網)
焦循完成《天元一釋》後回到揚州，處理好家事，便四處搜尋宋元典籍。功夫不負有心人，偶然的機會，他從鎮江的某書樓抄得秦九韶的《數書九章》原本。閱讀之後，焦循為此書的專業精要而感嘆。為了詳細解讀此書，向大眾推廣，他於1801年完成《開方通釋》一書。「餘得秦道古《數書九章》，有正負開方法，因作《開方通釋》，詳述其義」，此書最主要的特色是詳細闡述了開方之法。這種方法自宋朝以後便鮮有人涉及，焦循此舉非同尋常。
作為清朝時對宋元創建高次方法解法（即天元術）的專業注釋典籍，《天元一釋》、《開方通釋》重點在於理論研究，基本不涉及具體計算。由此得知，焦循對宋元數學的研究已上升到理論階段，注重規律的總結和延伸。這有利於宋元數學典籍發揮更大作用，為近代數學發展奠定了基礎。
《數書九章》、《益古演段》等宋元數學奇葩沉埋500多年後再放異彩，我國數學史上沒有出現斷代現象，焦循功不可沒。
天算研究出傑作
天文數學不分家，天文學家和數學家被合稱為「天算家」，這是中國古代科學的重要特色之一。焦循即是清朝前期著名的天算家。他對天文學的興趣僅次於數學。早在1795年，他外出歸家後，精讀遊歷得來的《弧三角舉要》、《環中黍尺》、《勾股割圜記》等專著，深感梅文鼎、戴震兩位數學家的著作或繁或簡，不便給天文學研究做參考，遂精心編撰成《釋弧》（三卷）一書。此書通俗介紹圓及球面三角形的解法，是研究天文學的必讀之書，受到錢大昕、李銳等清朝學者的稱讚。
《釋弧》內文(來源：孔夫子舊書網)
次年，焦循在研究弧面三角的基礎上，精心編寫《釋輪》（二卷）專著。書中主要介紹第谷（丹麥天文學家）理論及本輪的幾何原理等，幾乎囊括了當時天文學中的數學基礎知識。對於當下流行的諸輪法和橢圓法，焦循在書中進行詳細論述，最終認為橢圓法相對更先進。
著書之外，焦循還注重地圖的繪製。他曾應阮元之請，與法國天文學家、地理學家蔣友仁，好友李銳等完成《地球圖說》一書，焦循精心補成地圖一卷。此書出版後，國人清楚了解了地球在太陽系中的位置及運轉情況。
焦循與蔣友仁等完成《地球圖說》後，並沒有停止學問研究的步伐，在經、史、算、訓詁等方面均有所成。此後十多年，病魔一直纏著他。一次又一次吐血、足疾，苦不堪言。他乾脆蟄居在老家的雕菰樓，躺在病床上研究易學、數學、天文學等，整理個人作品，力撰《孟子正義》。
1820年6月27日上午，一年中最好的季節裡，焦循因足疾的急性惡化而去世，時年57歲。兒子焦廷琥擦乾眼淚，繼續在雕菰樓裡整理父親生前的數學和天文學作品，輯成《裡堂學算記》系列叢書。此叢書所含除了前文介紹的《加減乘除釋》、《天元一釋》、《釋弧》、《釋輪》等外，還包括《乘方釋例》（五卷）、《大衍求一術》（一卷）、《孫子算經注》（二卷）等，均系焦循平前心血所得。半年後，焦廷琥終因整理《裡堂學算記》、《孟子正義》等書稿操勞過度而去世，年僅39歲。
《孟子正義》專著(來源：孔夫子舊書網)
阮元收到《孟子正義》及《裡堂學算記》手稿後才得知焦循去世的消息。他對這位同行兼故交深感惋惜。「（焦循）弱冠與元齊名，自元服官後，君學乃精深博大，遠邁於元矣。今君雖殂，而學不朽。」阮元悲痛地寫下此語。時人曾將他們合稱為「阮焦」，但阮元一直認為焦循在專業上勝自己很遠。帶著懷念的心情，他將這種想法寫進《疇人傳》中，終讓一代通儒焦循永垂青史。
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【參考資料】
1. 論文《焦循的數學研究》，作者朱家生，揚州大學。
2. 論文《焦循的數理天文工作研究》，作者王君，內蒙古師範大學。
3. 論文《焦循易學思想的分析》，作者師徵，山東大學。