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在我們的直覺中，有理數和有理數相加結果還是有理數，事實上，有限個有理數相加結果就是有理數。但是，無窮多個有理數相加結果還是有理數嗎？
很多問題在有窮的範圍內是很容易理解的，但是如果涉及到無窮的時候，結果往往跟我們的直覺是相悖的。例如，著名的π的萊布尼茲公式。
這個公式中，將圓周率π和所有奇數的倒數建立了聯繫，很明顯無窮多個有理數相加的結果可能是一個無理數。那麼這個公式是怎麼得到的呢？
首先，我們看一下上面的公式，無論是對等式左邊做等比數列求和，還是對右邊分子進行因式分解，都能很容易得出上面的等式。當n趨向與無窮大，x∈（-1,1）時，上式可以寫成：
將等式反過來就是就是級數分解，很明顯級數的收斂域為x∈（-1,1），當我們的x換成-x，上式變為了：
將等式兩邊積分一下，就會得到如下等式：
到這裡我們可以將x=1帶入上式可以得到：
好像到現在我們已經得到了π的萊布尼茲公式，但是很遺憾，x=1並不在收斂域內，所以不能直接將x=1代入進去。此時我們可以用交替級數判定法則（萊布尼茲定理）判定x=1處，上述級數是收斂的，並且可以證明是收斂到arctan1的。
下面我們用更基本的方法（不用用到萊布尼茲定理）來證明這個等式。首先，我們可以得到下面的等式：
這個等式可以通過將前n+1項等比數列求和然後與n+2項相加得到。然後我們將等式兩邊在0到1上積分可得：
上式中當n趨近於∞時，只需要證明等式左邊最後一項趨近於零，就能證明π的萊布尼茲公式。接下來我們證明一下最後一項趨近零。
這樣我們就證明了最後一項在n趨向於∞的時候趨近於0，所以有π的萊布尼茲公式成立。π的萊布尼茲公式是一個很神奇的公式，該公式表明通過有理數無限次的加減可以得出一個無理數，並且圓周率π和奇數的倒數之間存在這樣一個關係，我們可以通過這個公式來逼近π來得到很精確的π值，這樣π的計算變為了級數的求和。
其實，級數有著很神奇的性質，上式是歐拉研究過的級數，在s=1時，就變成了全體正整數的倒數之和，這個級數也稱為調和級數，而調和級數是發散的（可以嘗試證明一下），也就是最終求和的結果是無窮大，而當s>1的時候，上面的級數就會收斂。而當s=2時，歐拉算出來結果為：
級數在數學上和物理上有很多應用，著名的黎曼猜想其實就是在上面級數上的解析延拓（定義域擴充）。如果想了解更多相關內容，敬請關注我後續文章。