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求二次函數上動點構成的三角形面積的最值是數學中考的重要題型，本文就例題詳細解析這類題型的解題思路，希望能給初三學生的數學學習帶來幫助。
例題
如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax^2+bx+3經過點A(-1,0)，B(3,0)兩點，且與y軸交於點C。
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖2，用寬為4個單位長度的直尺垂直於x軸，並沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交於P，Q兩點（點P在點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP，DQ，若點P的橫坐標為-1/2，求△DPQ的面積的最大值，並求此時點D的坐標。
1、求拋物線的表達式
根據題目中的條件：拋物線y=ax^2+bx+3經過點A(-1,0)，B(3,0)兩點，則a-b+3=0，9a+3b+3=0，可求得a=-1，b=2；
所以，拋物線的表達式為y=-x^2+2x+3。
2、求△DPQ面積的最大值及點D的坐標
過點D作DE⊥x軸，交PQ於點E，過點P作PF⊥DE於點F，作QG⊥DE的延長線於點G，設點D的坐標為（d,-d^2+2d+3）
根據題目中的條件：點P的橫坐標為-1/2，直尺的寬為4個單位長度，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交於P，Q兩點（點P在點Q的左側），則點Q的橫坐標=-1/2+4=7/2；
根據題目中的條件和結論：P，Q兩點在拋物線上，拋物線的表達式為y=-x^2+2x+3，點P、Q的橫坐標分別為-1/2，7/2，則點P的坐標為（-1/2,7/4），點Q的坐標為（7/2,-9/4）；
設直線PQ的表達式為y=kx+b
根據題目中的條件：點P、Q在直線y=kx+b，P（-1/2,7/4），Q（7/2,-9/4），則k=-1，b=5/4；
所以，直線PQ的表達式為y=-x+5/4；
根據題目中的條件：DE⊥x軸，點D的坐標為（d,-d^2+2d+3），則點E的橫坐標=d；
根據題目中的條件和結論：點E在直線y=-x+5/4上，點E的橫坐標=d，則點E的坐標為（d,-d+5/4）;
據結論：D（d,-d^2+2d+3），E（d,-d+5/4），則DE=-d^2+2d+3-(-d+5/4)=-d^2+3d+7/4；
根據題目中的條件：DE⊥x軸，PF⊥DE，QG⊥DE，寬為4個單位長度的直尺垂直於x軸，則PF+QG=4；
根據三角形面積計算公式和結論：S△PDE=DE*PF/2，S△QDE=DE*QG/2，S△DPQ=S△PDE+S△QDE，PF+QG=4，則S△DPQ=DE*PF/2+DE*QG/2=DE*(PF+QG)/2=2DE；
所以，當DE取到最大值時，△DPQ的面積取到最大值；
根據結論：DE=-d^2+3d+7/4=-(d-3/2)^2+4，則當d=3/2時，DE取到最大值=4；
根據結論：D（d,-d^2+2d+3），則當d=3/2時，點D的坐標為（3/2,15/4）；
根據結論：DE的最大值=4，S△DPQ=2DE，則S△DPQ的最大值=8。
結語
解決本題的關鍵是合理添加輔助線把動點構成的三角形分成底邊相同的兩部分，而且兩部分的高之和恰好為固定值，於是三角形的面積由底邊的長度決定；根據拋物線和直線的解析式設動點三角形高的端點坐標，用含字母的代數式表示出高，且為二次函數，根據二次函數求最值的方法就可以求得題目需要的三角形面積最值。