談談:為什麼x^n的導數就是nx^n-1呢?

2020-12-15 電子通信和數學

我們來琢磨求導背後美妙的幾何過程，不論n是多少，x^n的導數都等於nx^n-1,這就是所謂的冪函數求導公式

雖然我們只知道運用求導公式，卻難以理解它的本質原理，為什麼x^3=3x^2,x^5=5x^4……,

首先我們來看(x+dx)^n，就是把n個x+dx全部乘到一起，這個完整的展開會很複雜

但求導的關鍵就在於他的很大一部分都可以被忽略，下圖中的dx可能來源於n個括號中的任意一個，所以總共會有n個項

每一項都有n-1個x和一個dx，也就是x^n-1dx,這相等於正方形的情況，新增的面積大部分都來源於兩根長條，每根面積都是xdx

或是立方體的情況，新增的面積大部分都來源於三根扁方塊，每個體積都是x^2dx

展開式裡還有許多其他項，不過它們全部都是dx^2的倍數

所以可以直接忽略掉，所以除了忽略的部分，剩下的函數值的增加量都來源於x^n-1dx

這就是x^n的導數是x^n-1dx的意義所在

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