1 引言
70 多年前，Ettore Majorana 在另一套表象下求解了Dirac 相對論協變的電子運動方程，發現了一種不帶電荷的費米子，它的反粒子正是自身。從此，這種以Majorana 命名的中性費米子便一直是人們尋找的物質粒子。在基本粒子領域，幽靈般的中微子曾一度被認為很可能是Majorana 費米子，至今在世界上仍然有許多實驗組在堅持不懈地探測中微子作為Majorana 費米子的可能性。超對稱理論預言所有的玻色子與費米子都存在其超對稱伴侶，而玻色子的超對稱伴侶即是Majorana費米子。在暗物質被發現後，關於暗物質組成也有很多設想，其中相當引人注目的弱相互作用有質量粒子(WIMP)便很可能是這種Majorana費米子。
在另一個尺度上，凝聚態物理領域的科學家們也同樣致力於尋找Majorana 費米子。雖然凝聚態系統的基本組分只包含電子與離子，所涉及到的基本相互作用只有電磁相互作用；然而從演生論的觀點來看，複雜的凝聚態系統可以演生出十分豐富的物理現象和低能元激發準粒子。例如，在超導體系中，電子規範對稱性的破缺提供了產生Majorana 費米子的可能性。Majorana 費米子不帶電荷，所以超導體系中的電子和空穴疊加後的準粒子類似於Majorana 型粒子。通常的s 波超導體是自旋相反電子的配對，自旋的存在使得這樣的準粒子並不等同於其反粒子。為了「凍結」電子的自旋自由度，可以通過破壞其宇稱或者時間反演對稱性來解除能帶的自旋簡併，等效地得到「無自旋」的費米子。由於費米統計，這樣得到的無自旋費米子的配對必須服從奇宇稱，這意味著它們必須以非平庸的形式配對，其中最簡單的就是一維p 波和二維p+ip 超導配對。這樣，最終得到的無自旋費米子的超導態具有非平庸的拓撲性質，通常稱為拓撲超導，而Majorana 費米子可以出現在拓撲超導體系的缺陷附近或邊緣上。
凝聚態物理領域的科學家們對Majorana 費米子的尋找，除了出於基礎理論的研究外，還有另一重重大的意義：關於拓撲量子計算的物理實現。在2+1 維時空中，粒子按照相互交換所導致的效應不僅僅分為玻色子與費米子兩類，還有介於兩類之間的任意子。而任意子又分為兩大類，阿貝爾與非阿貝爾任意子，前者在相互交換下波函數隻改變一個任意相位，後者在相互交換下會導致量子態的改變。由於低維拓撲超導體系中產生的零能量Majorana 費米子(簡稱MZM)總是伴隨著拓撲缺陷(比如渦旋)，所以MZM 之間的交換呈現出任意子的統計性質；而MZM 作為「半個電子」，其交換會改變由成對MZM 構成的量子態。因此，一個包含2N個MZM 的物理體系具有2N-1維基態空間，可以用作N－1 個量子比特來存儲信息；通過交換MZM，可以實現量子態在基態空間中的轉換，即改變量子比特的狀態，可實現拓撲量子計算。同時，任意子的存在受拓撲保護，局域的環境幹擾無法湮滅掉一個任意子。另一方面，用做量子比特的基態空間受到超導能隙的保護，並且用於存儲信息的MZM 在空間上是分隔開的，這意味著信息的編碼是非局域的。由於環境噪聲以局域的形式作用於體系，只有高階微擾才能改變基態空間中量子比特的狀態，這使得環境噪聲對量子態的幹擾極大地被抑制。因此，拓撲量子計算可以在硬體層面具有容錯特性，並且能有效地抵擋環境的退相干效應。
本文的第一部分從相對論協變的電子的運動方程出發，簡述Majorana 費米子的由來和基本性質。然後，分別介紹一維和二維的拓撲超導體系，從中可以看到MZM 如何在這些體系中產生，如何通過常規s 波超導來實現拓撲超導體系，以及如何探測MZM 存在的實驗方案。在第三部分，簡要介紹了拓撲量子計算的基本概念，並以MZM 為例說明如何通過交換非阿貝爾任意子來構造量子門操作，進而實現拓撲量子計算。
2 Majorana費米子
2.1 Majorana費米子的提出
Schrdinger 方程是描述微觀粒子運動的非相對論性量子力學方程，由經典的能動量關係：E=p2/2m(其中E 為能量，p 為動量，m 為物體的質量)。運用算符分別對應下列關係式：
並將其代入能動量關係式中，可得Schrdinger 方程：
同理可推廣到相對論情形，由相對論的能動量關係： E2 = p2 +m2 ， 用算符對應式代入， 得Klein—Gordon方程：
然而該方程所引導出的守恆流可能出現負機率，這是由Klein—Gordon 方程中波函數對時間的兩次微分導致的。於是Dirac 提出了一個對時間和空間都只作一次微分的線性方程：
其中x = xμ = (t，x)表示4維的時空坐標，x表示3維的空間坐標， αi，β(i = 1，2，3)為待定的係數矩陣。將(4)式對時間微分並與(3)式比較，得到αi，β 滿足如下關係：
這正是Clifford 代數所滿足的性質。在3+1 維時空中， 滿足此代數的αi，β 是4 維的矩陣。Dirac 給出了一組滿足此關係的4×4 矩陣。在這個方程裡，4×4 矩陣意味著Dirac 引入了一個不同於3+1 維時空的4 維線性空間，波函數作為其運動方程的解可以看成是該空間中的矢量，稱為旋量，對應的空間稱為旋量空間。為了將Dirac 方程(4)式寫為Lorentz 協變的形式，(4)式兩邊同時左乘β並引入γ 矩陣γμ =(β；βαi) ，得
其中pμ = (it，-p) ， μ = /xμ 。
在Dirac表象下，
其中σ0 是二階單位矩陣， σi 是泡利矩陣：
後來，Weyl 和Majorana 分別給出不同的矩陣選擇方式，它們分別描述不同的物質粒子。在Weyl表象下，
在Majorana表象下，
注意(10)式所示的矩陣γi(i = 0，1，2，3) 為純虛數矩陣，則對應的Majorana 表象下的Dirac 方程式(6)為純實的方程，因此Majorana 表象下方程和解都是實的。由於Dirac 旋量是4 分量複數的，這等於說，一個Dirac 旋量等價於兩個相同質量的Majorana 旋量(全實的Majorana 旋量可分別充當Dirac旋量的實部或虛部)。
從另一個角度看，Majorana 費米子也可以用Dirac費米子來構成：在Weyl表象下，Dirac方程的解可以寫為Ψ= (ψR，ψL)T ，將解代入(6)式，有
Majorana 所要尋找的是一個正反粒子等同的粒子，即
從而得到兩個獨立的方程：
求解上述方程可以發現，只有當E=0時，Majorana費米子方程的解是定態的波函數。
2.2 凝聚態中的Majorana費米子
凝聚態體系中的基本研究對象是電子，所涉及的基本相互作用是電磁相互作用。作為一個量子多體系統，其低能集體激發會演生出許多重要的基本元激發準粒子。另外，金屬系統都存在一個費米面，費米面以下是填滿了電子的費米海，這恰好是Dirac 曾經所提出的試圖用來解釋反粒子的物理圖像。在上文中我們已經看到Majorana費米子不具備Dirac費米子所擁有的U(1)規範對稱性，正是這種規範對稱性保證了Dirac費米子的電荷守恆。也就是說，要在凝聚態裡尋求Majorana費米子，首先我們需要一個破缺U(1)對稱性的費米系統。超導或超流態正符合這個要求。超導體系具有電子、空穴對稱性，其準粒子由電子、空穴線性疊加構成，這些特徵都暗示著Majorana 費米子在超導系統中存在的可能性，並且只有零能量的Majorana 費米子是能量本徵態。MZM的存在導致了一個簡併的基態空間，並被單粒子激發能隙保護，從而有望用於拓撲量子計算，本文後面會對這一點做詳細介紹。事實上，嚴格推導可發現，在具有電子、空穴對稱性的超導體系中，只要存在零能量的激發模式，該激發模式就能滿足正反粒子相同的條件，可以被確定為MZM ，所以我們接下來介紹的尋找Majorana 費米子的目標都成為尋找超導體系中的零能激發模式。
在介紹可產生MZM的模型之前，我們根據(13)式，將一個電子的產生或湮滅算符分解成「實部」和「虛部」的疊加，其實部和虛部各對應於兩個獨立且局域在空間同一點上的Majorana費米子：
湮滅算符γiα ， γjβ 滿足費米子的反對易關係：
費米系統的粒子數算符為
由費米子的泡利不相容原理， nj 取值為0 或1，則對應MZM 對的取值iγj1γj2 為－ 1 和1。兩個MZM 等價於一個Dirac 電子，因此，在由電子作為基本組元所構成的凝聚態體系中，MZM一定成對出現。一般來說， Majorana 費米子只是電子的一個等價表象，通常的電子都可以等價地看成一對Majorana 費米子的線性組合，而我們需要去尋找的是局域在空間不同點上的Majorana費米子。
3 Majorana費米子的物理實現
3.1 一維無自旋費米子p波超導態
一維無自旋費米子體系的非平庸拓撲超導態中就存在零能隙邊緣激發MZM。由於費米統計，無自旋的費米子體系其配對機制必定具有奇宇稱，最簡單的形式即由Kitaev 給出的p 波超導模型：
式中j 標記一維鏈上的格點，共N 個格點，第一項表示最近鄰格點間電子的躍遷，t 為躍遷概率幅，第二項表示化學勢，第三項表示最近鄰格點間的配對，其中Δ為平均場近似下超導配對序參量。不難看出該配對形式具有奇宇稱(在宇稱反演下，左右反轉，那麼由於費米子算符的反對易性會導致一個負號的出現)。該配對項在連續極限下相當於cjcj+1 ≈ c(x)xc(x) ，因而稱為p波超導。事實上，對於無自旋費米子超導體來說，該配對的奇宇稱是無法迴避的，這是因為費米子的泡利不相容原理。該p 波超導的拓撲屬性可以從動量空間中得到體現。取周期性連界條件，進行傅立葉變換，得到動量空間的哈密頓量為
利用Bogliubov變換，得到準粒子激發譜為
當化學勢處在| μ| = 2t 時，能隙關閉，這對應於一個二級相變，分隔開兩個相，分別對應於拓撲超導相和平庸相。這兩個相的性質可以通過如下兩種極限情形顯示出來。
利用(14)式將(18)式改寫成用Majorana 費米子
表示的公式：
(i)當參數選擇| Δ| = t = 0時，有
這時超導消失，對應於一個平庸態。
(ii)當選擇參數| Δ| = t，μ = 0時，有
哈密頓量只包含相鄰格點的交叉項，為尋找其基態，重新定義一組Dirac費米子：
(23)式可寫為
其基態由重新定義的費米子aj 的佔有數決定。注意到哈密頓量公式(23)中不包含γ1, 1 和γN, 2 ，它們為MZM且位於一維鏈的兩端(1 和N格點上)，這是非平庸的拓撲態。
Kitaev 鏈給出了兩個態——拓撲態和平庸態。當體系的體激發譜中存在能隙且基態簡併時，出現拓撲態。當| Δ| = t = 0 時，存在激發能隙，但基態無簡併，為平庸態；當| Δ| = t，μ = 0時，存在無能隙邊緣態激發，因此為非平庸的拓撲態。以上兩相的示意圖和相圖見圖1。
圖1 Kitaev鏈具有的平庸態和拓撲超導態 (a) | Δ| = t = 0時的基態示意圖，每一格點上的兩個Majorana費米子形成Dirac費米子；(b) | Δ| = t，μ = 0時的基態示意圖，相鄰兩格點上的兩個Majorana 費米子形成Dirac 費米子；(c)參數空間μ—2t中系統的基態相圖，2 個點分別表示(a)和(b)的參數選取
Kitaev模型成功地說明了在無自旋費米子的p波拓撲超導相中存在MZM。然而材料中的電子都是帶有自旋的，一般常規金屬體系都具有自旋簡併，由宇稱和時間反演對稱性所保護。為了得到「無自旋」的費米子，可以設法打破二者之一的對稱性，得到一個無自旋簡併的能帶，則該能帶對應的準粒子等效於無自旋的費米子。在凝聚態中實現這一點的最自然方式就是藉助自旋軌道耦合。比如，s波超導體上的一維量子導線藉助自旋軌道耦合效應可以實現Kitaev模型，體系的哈密頓量可表示為
其中ψ*iασ2xψ 描述自旋軌道耦合，它解除了能帶的自旋簡併； ψ*Vx σ1ψ描述外加的橫向磁場(Vx = gμBB) ，它進一步劈裂能帶，得到兩支自旋雜化的無簡併能帶； 超導的配對項(Δψ↑ψ↓ + h.c.) 將相反自旋的電子進行配對，誘導出自旋雜化能帶的帶內準粒子之間的配對，從而等效於無自旋的費米子p 波配對， 見圖2。當√(|Δ|2 + μ2) < Vx 時，體系處於拓撲超導態，鏈兩端應該出現MZM 。實驗中用InSb 或InAs 半導體納米線與超導體接觸來製備出一維p 波超導鏈，由於它們具有較大的朗德g因子，在較小的磁場下就可進入拓撲相。
圖2 一維p 波拓撲超導態的實現(a)一維納米導線利用自旋—軌道耦合效應和超導近鄰效應，在有外磁場情形下可以製備出p 波超導並產生MZM；(b)體系的能帶結構：自旋軌道耦合使能帶劈裂為紅色、藍色兩支，加磁場後可進一步把能帶劈裂成上、下兩支，用黑色表示。當化學勢位於能隙中間時，該體系的低能激發為等效的無自旋激發
實驗上，普通金屬在費米面附近有連續的電子態，費米面以下為佔有態，費米面以上為空態；超導體在費米面附近打開一個超導能隙，而拓撲超導體則會在超導能隙中間位置產生局域的邊緣電子態，可以導致零偏壓電導峰的出現。圖3為Delft組的實驗結果，圖中顯示了InSb在70 mK下處於不同大小外磁場下的電導曲線，磁場區間從0 mT到490 mT，以10 mT為間隔。從100 mT開始出現零偏壓電導尖峰。當然，這只能表明超導能隙內存在零能的局域電子態，這是第一個表明MZM可能存在的實驗證據。
圖3 電導與偏壓關係， 零偏壓電導尖峰的出現表明MZM 存在的可能性
3.2 二維無自旋p+ip 拓撲超導態
從一維推廣到二維，我們期待在二維的非平庸拓撲超導相同樣存在無能隙的邊緣激發，可以產生MZM 。對於二維無自旋的費米子體系，其配對同樣需要服從奇宇稱，最簡單的配對形式就是px + ipy 或者px - ipy ，它們都帶有一個單位的角動量，破壞時間反演對稱性。下面我們重點討論p+ip型拓撲超導，其哈密頓量可寫成：
該體系的拓撲性質可以在動量空間體現出來：
其中hkx = -Δ0(ky cos + kx sin ) ， hky = Δ0(kx cos -ky sin ) ， hkz = 2k2/2m- μ ，於是，該系統的哈密頓量對應於一個作用在Nambu旋量上的贗磁場，該贗磁場的方向定義了一個映射，如圖4所示。
從該變換還可以定義一個拓撲不變量：
式中h 是贗磁場的方向矢量。我們可以形象地把這個映射看成是把二維動量空間包裹到二維的單位球面上，拓撲不變量即為包裹球面的次數。在不允許剪切和粘合的前提下，拉長伸縮等任意連續平滑的變化都無法改變該拓撲數。不同的拓撲數對應於不同的拓撲物相，它們之間無法連續平滑地過渡，除非經歷二級相變，即能隙閉合。這是因為在能隙閉合的動量處，贗磁場為0，沒有方向，上述的同倫變換映射不再成立。一般而言，同倫變換映射對應的拓撲數可以是任意整數，然而在這裡所討論的p+ip 超導體系中，拓撲數只能取0或1，其中0對應於平庸相，1則是非平庸拓撲的。要想獲得具有更高的拓撲數的物相，需要更複雜的哈密頓量，比如f波超導的哈密頓量。在實際的體系中，如果存在一個分隔不同拓撲相的疇壁，在疇壁上將會出現零能激發。這可以簡單地理解為：從疇壁的一側到另一側可以看成是以空間位置為參量的拓撲「相變」，那麼在二者之間必定跨越過能隙閉合的狀態，於是在疇壁上有可能獲得MZM。另外，非平庸拓撲超導體系的邊緣也是一種特殊的疇壁，所以在非平庸拓撲超導相的邊緣上也可望出現MZM。
圖4 由贗磁場方向定義的從二維平面到球面的同倫變換映射
下面我們考慮一個簡單的圓環狀p+ip 超導體系，通過調節化學勢使圓盤體系處在非平庸拓撲超導相，並往圓環中心加入n 個磁通量子，求解其邊緣態的激發譜和波函數。如果忽略在邊緣上緩慢變化的動能項，則其哈密頓量可簡化成
一般來說，n 個磁通量子可以導致一個帶拓撲荷為n 的Abrikosov 渦旋，渦旋中心在坐標原點處。渦旋的存在體現為超導序參量的一個局域相位變化，任意圍繞原點一圈的路徑，都會導致波函數相位轉過n個周期。另外，注意到配對項中的p+ip攜帶了一個單位的角動量，表現為一個隨著極角變化的相位。當極角轉動一圈時，該相位正好轉一個周期。這一個相位可以與序參量合併，其效應相當於在坐標原點再增加了一個單位的渦旋。這個效應可以通過下面的規範變換公式清楚地表述：
於是，渦旋的作用轉嫁成為電子場算符在極角方向的周期邊界條件，會對電子波函數的角動量有所限制。
對於n 個外加磁通渦旋，若n 是偶數，電子場算符為反周期邊界條件，則得到的電子波函數角動量只能為半整數；若n 為奇數，電子場算符為周期邊界條件，則電子波函數角動量只能為整數。通常的軌道角動量不可能取半整數，因為波函數的單值性導致電子波函數在極角方向必須滿足周期邊界條件。在這裡，半整數軌道角動量的出現從根源上說是由渦旋的存在所導致。由於體系具有旋轉對稱性，軌道角動量是好量子數，所以可以得到以角動量m來標記的能量本徵邊緣態。具體求解Schrodinger 方程(30)式，得到體系低能激發的兩支模式，分別對應於內邊緣態和外邊緣態。它們的能譜分別為
分別對應的波函數為
由圖5 可見，激發能譜隨角動量呈線性關係，相同能量的內外邊緣激發模式具有相反的角動量，離散的激發能譜在熱力學極限下趨於連續的無能隙能譜。然而要獲得零能量激發模式(即MZM)，需要角動量嚴格取為0，外加磁通量子數n 必須為奇數。當n 取為偶數時，不會存在MZM。這種外加磁通量子數的奇偶效應對於在實驗上直接探測MZM的存在具有重要意義。實際上，上述的角動量直接對應體系一維邊緣上的動量，所以邊緣激發譜可以看成是能量隨動量的變化關係。
圖5 p+ip 超導體的邊緣激發示意圖(a)在帶偶數拓撲荷渦旋的情況下得到的體系內外邊界上的手徵邊緣激發態，其中紅色為內邊緣，藍色代表外邊緣；(b)在渦旋拓撲數為偶數的情況下得到的體系內外邊緣的激發能譜，其橫坐標為對應的角動量量子數；(c)在存在奇數拓撲荷的渦旋的情況下得到的體系的內外邊緣激發模式；(d)在渦旋拓撲數為奇數的情況下得到的體系內外邊緣的激發能譜。內外邊緣都存在嚴格的零能量模式，即MZM
雖然上面的分析都是基於一個特殊對稱的圓盤狀體系所得到的，更一般的情形不一定能得到這樣一個完美線性的激發能譜。我們可以把上面的特殊的圓盤構型做連續變形，這會導致能帶發生扭曲，但由於受到拓撲保護，體系邊緣態上不會打開能隙，而體能隙也不會閉合。因此，以上的分析對一般的情形也成立。
類似於利用自旋—軌道耦合與s波超導來實現一維p 波超導，二維p+ip 拓撲超導態在實驗上有如下的實現方案[7]：三維拓撲絕緣體的表面態是由自旋—軌道鎖定的螺旋電子態，它破壞了宇稱，解除了能帶自旋簡併。通過調節化學勢，使得費米面遠高於能帶交叉點，費米面附近為一個無自旋簡併的雜化能帶。在拓撲絕緣體表面覆蓋s波超導，近鄰效應導致費米面附近的電子配對，從而實現p+ip 拓撲超導。Fu指出，在三維拓撲絕緣體表面覆蓋s波超導體，其界面處若存在帶奇數拓撲荷的渦旋，則可在渦旋上捕獲Majorana費米子。
3.3 Majorana費米子的統計性質
MZM的重要性在於其特殊的非阿貝爾統計性質。為什麼零能量的Majorana 費米子會呈現出非阿貝爾統計性質，而不是簡單的費米統計呢？為了說明這一點，我們回顧一下如何從p+ip 拓撲超導體系獲得MZM：MZM只在帶奇數拓撲荷的渦旋上產生，即MZM總是與一個奇數拓撲荷的渦旋綁在一起，所以對MZM對的交換是通過絕熱地交換渦旋來實現的。這意味著交換過程不是單純的兩個Majorana 費米子激發模式的交換，還必須考慮渦旋的效應。拓撲荷為n 的渦旋，其本質效應是導致超導序參量相位的變化，可以等效於一條從渦旋中心延伸到無窮遠處(或者延伸到另一個帶有相反拓撲荷的渦旋中心)的割線。在割線以外的區域，序參量不發生相位變化，只有當跨越割線時，序參量的相位跳變n 個周期。在這個跳變下，序參量沒有實質性改變，但這對電子波函數的影響巨大：通過規範變換讓電子吸收掉序參量的相位渦旋，電子只吸收了一半的渦旋相位。也就是說，當跨越割線的時候，電子的波函數相位要跳變n/2 個周期。如果n 是奇數，這將導致波函數獲得一個π相位。同理，空穴在跨越切割線的時候也會獲得π相位。MZM作為電子、空穴的線性疊加，自然也獲得π相位。MZM交換如圖6 所示，交換兩個MZM意味著其中一個MZM會跨越另一個渦旋的相位割線，出現一個負號。
圖6 MZM交換示意圖
因此，MZM交換可用算符來表達，交換操作應該導致
可以得到實現交換的算符為
對2N個MZM γk ， γi 與γj 交換可表示為么正變換：
由交換算符U直接計算，可得到
因此，交換操作不可對易。
圖7 4 個MZM交換的示意圖(圖中虛線表示配對)
下面我們用一個簡單的例子說明交換操作對量子態的影響。假設系統有4 個MZM γ1 ， γ2 ，γ3 ， γ4 ，如圖7 所示。4 個MZM 可等價於兩個「非局域」的Dirac費米子ca和cb：
用該Dirac 費米子的佔據數na和nb來標記量子態：|na，nb> ，(na，nb = 0，1) 。γ1 繞γ3 一圈可由么正變換U312 = γ3γ1 = (ca + ca*) (cb + cb*) 實現，在此操作下，量子態的變化為
其中nˉ = 1 - n ，即不同Dirac 費米子中的MZM環繞一圈可以製備出佔有數相反的態。MZM的交換算符U對量子態的影響如下：
即交換同一Dirac 費米子中的一對MZM，只是導致一個相因子的出現，而交換不同Dirac 費米子中的MZM，會製備出新的糾纏態。上述分析表明，MZM是滿足非阿貝爾統計的任意子。
未完待續
本文選自《物理》2017年第3期（原自中國物理學會期刊網）作者：張廣銘 等
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