譯 者 按
William Thurston（暱稱 Bill）是 1982 年數學界最高獎菲爾茲獎得主，2012 年去世。他的數學研究就像進行魔術表演，總是突然就從帽子裡抽出絕妙的創意，無數次讓世界範圍內的數學家們驚嘆不已。1970-1980年間，Thurston 的研究工作在拓撲學領域引起了一場翻天覆地的革命，對數學界的影響一直持續到現在。
Dennis Sullivan 是 2010 年數學界另一個大獎沃爾夫獎得主，在代數拓撲和復動力系統兩個領域為數學界作出深刻的貢獻。Thurston 和 Sullivan 的研究有著很大的交集。當 Sullivan 得知 Thurston 去世的消息後，他迅速寫下了這十個記錄他們之間來往的故事。
撰文｜Dennis Sullivan
翻譯｜杜曉明
故事一
1971 年 12 月，在伯克利召開的一個動力系統研討班結束的時候，貌似解決了一個能很好地應用於動力系統的平面上的棘手問題。解決方案宣稱：能把 N 個兩兩位置不同的點逐步移動到另外的 N 個點，使得在移動過程中不發生自交，並且每一步都整體只移動非常小的距離。坐在前排的資深動力系統專家們都樂觀地相信這個結果，因為根據之前的經驗，在三維以及更高維數的動力系統的應用中，由於這些點能擺成一般位置，這個結論顯然是對的，如今該定理在二維的情形也應該成立。
一個坐在教室最後排的長頭髮、大鬍子的研究生站了起來，說證明中的算法是不成立的。他就是 Bill Thurston。他怯怯地走到黑板前面，畫了兩幅圖，每幅圖都有 7 個點。然後開始按照剛才的算法來操作。一開始出現的連線儘管很短很少，但畢竟擋住了另外一部分線的延伸方向。想把另外一部分線繼續延長又同時避免出現交叉的話，必須從別的地方繞回來，於是各條線開始變得越來越長。在這個複雜的圖示例子裡，剛才的算法無效！我從未見過其他人有如此強的理解力，也從來沒見過有人能如此之快就創造性地構造出反例。這讓我從此對幾何上可能出現的複雜性產生敬畏。
各個時期（上世紀70 年代、80 年代、90 年代）的 Thurston。
故事二
幾天之後，伯克利的研究生們邀請我（那時我也同樣是大鬍子、長頭髮）在分隔辦公區與電梯區的走廊牆壁上畫一些與數學有關的壁畫。就在準備畫的時候，故事一裡面提到的那位研究生跑來問我：「你覺得畫這個東西有意思嗎？」他給我看的是平面上圍著三個點繞來繞去的一些複雜的一維對象。我問：「這是什麼？」他的答案讓我很驚訝：「它是一條簡單閉曲線。」我說：「這一定很有趣！」
於是我們就開始花幾個小時一起在牆上畫這條曲線。這真是一次非常棒的學習如何粘貼的體驗。為了讓這條曲線看起來較美觀，首先得畫一些較短的、彼此平行的、有些彎曲的短線（正如葉狀結構局部方形鄰域內的圖案一樣），然後再把它們光滑地接起來。我問他是如何想到這樣的曲線的，他說：「從一條給定的簡單閉曲線出發，不停地沿著中間的相交曲線作成對的 Dehn twist。」
這幅 2 米高、4 米寬、畫著曲線的壁畫（見2003年《美國數學會通訊》第50卷第3期的封面）署有作者和日期：「DPS and BT, December, 1971」，它在伯克利的牆上保留了40多年，直到幾年前才被擦去。
過去在伯克利 Evans Hall 裡由 Thurston 和 Sullivan 一起畫的壁畫。這個圍著三個點繞來繞去的複雜圖像實際上是一條簡單閉曲線。| 攝影：Ken Ribet
故事三
上面兩個故事在伯克利發生的那個星期，其實我只是從麻省理工學院訪問伯克利，講一系列關於微分形式和流形同倫論的課。那時候葉狀結構與微分形式到處出現，並且成為研究的熱潮，我想利用在我的研究中出現的1-形式來描述基本群的中心下降序列，進而構造葉狀結構。這些葉狀結構的葉子覆蓋了從流形到它的冪零流形的映射圖像。冪零流形就是從基本群的高階冪零子群出發構造的流形。這其實是把利用同調來構造的到高維環面的 Abel 映射推廣成冪零的情形。由於缺少 Lie 群的知識，我曾向麻省理工學院和哈佛大學的微分幾何學家們請教這個推廣的可能性，但我自己還是沒弄明白。這些都太模糊、太代數化了。
來到伯克利之後，我在第一次課上就提出這方面的問題，並私下裡與 Bill 進行討論。開始我並沒有抱什麼希望，因為這是奇怪的代數與幾何的混合體。然而第二天，Bill 就想到了徹底的解決方法，並且給出了完整的解釋。對於他來說，這些只是很初等的東西，涉及的幾何知識也不多，僅僅是 Elie Cartan 的 dd=0 的對偶形式中的 Jacobi 關係。
就在以上兩個故事發生期間，我向我的老朋友 Moe Hirsch 提起了 Bill Thurston。Thurston 是 Moe 的博士生，那時候正處於博士階段的第五年。我記得是 Moe 還是誰說過，Bill 開始念博士時進展很緩慢，甚至在口試時出了點小問題。當時 Bill 被要求舉一個萬有覆蓋的例子，他選擇了畫虧格為2 的曲面的萬有覆蓋，在黑板上畫出一些笨拙的八邊形，八個八邊形共用一個頂點。
虧格 2 曲面的萬有覆蓋。
這種論證很快就在黑板上越來越呈現為沒有說服力的混亂。我想 Bill 是第一個在考場上想出如此非平凡的萬有覆蓋的人。Moe 說，不久之後，Bill 便開始以每個月一個的速度解決博士論文級別的大問題。許多年之後，我聽說就在那段時間裡， Bill 剛好有了他的第一個孩子 Nathaniel。孩子在晚上不睡覺，所以 Bill 也沒法睡覺。在念研究生的時候，有一整年的時間，他晚上都只能與 Nathaniel 在地板上來回地走。
在伯克利度過的那一周改變了我的人生。我很感激命運讓我有幸欣賞到所謂的「莫扎特現象」，並且認識了一位新的朋友。我剛從伯克利回到麻省理工學院，就馬上把這一切告訴我在麻省的同事們。但我想我的熱情過於強烈了，以致沒法讓別人全部理解：「我遇到了自己所見過的、甚至從沒期望會遇到的最好的一位研究生。」
我安排 Bill 先去普林斯頓高等研究院（IAS），然後來麻省理工學院做一場報告，並計劃把他招到麻省理工學院。但最後的結果是，Bill 在 1973-1974 年來麻省理工學院訪問了一年，但那一年我正好去訪問法國高等科學研究院（IHES），並且在法國一待就是 20 年。而 Bill 則被邀請回到普林斯頓大學任職。
故事四
普林斯頓高等研究院，1972-1973
在 1972-1973 這段時間，我從麻省理工學院訪問普林斯頓，於是與 Bill 接觸的機會更多了。一天，我們從普林斯頓高等研究院出來準備去吃午飯。我問 Bill，什麼是極限圓（horocycle）。他說：「你們待在這兒別動。」然後他開始向學院的草地走去。走了一段距離，他停住並轉過身來，說：「你們在以我為圓心的圓周上。」然後他轉身走得更遠，再次轉過身來說了一些東西。由於距離遠，他說什麼我已經聽不清楚了。他每走到一個新的地方就再喊一次，我們終於知道他說的是同樣的意思：「你們在以我為圓心的圓周上。」接下來他走得更遠了。由於距離太遠，他喊什麼我都聽不見了。等他轉過身來使勁喊大概同樣意思的時候，我忽然知道了什麼是極限圓。
極限圓
Atiyah 問我們其中某些拓撲學家：平坦向量叢是否存在分類空間？他曾對這樣的叢構造出一些新的示性類。由 Brown 定理，我們知道這東西存在，但是還不知道如何具體地構造出來。第二天，Atiyah 說，當他問 Thurston 這個問題的時候，Thurston 給出了一個神奇的構造：把作為向量叢結構群的李群看成一個抽象群，賦予離散拓撲，然後就給出分類空間。
後來，我聽說 Thurston 通過畫圖證明給 Jack Milnor 看：任意單峰映射的動力系統模式都會出現在取適當值c時對應的二次函數 x → x2+c 的迭代中。我因為正在學習動力系統，所以就計劃花一個學期的時間在普林斯頓，向 Bill 學習這篇從剛才提到的畫圖而發展出來的關於 Milnor-Thurston 萬有性的著名論文。
故事五
普林斯頓大學，1976 年秋
1976 年 9 月，我準備去普林斯頓大學學習一維動力系統，而 Thurston 則已經發展出曲面映射的新理論。我剛到的時候，他在高等研究院做了三個小時精彩的即興演講來解釋這個理論。我非常幸運：因為有之前在伯克利的牆上畫那條曲線的艱苦勞動，由此啟發，Thurston 關於葉狀結構的極限的主要定理直觀上對我來說非常清晰。在我待的那個學期即將結束的時候，Thurston 告訴我，他相信這些東西對應的映射環面具有雙曲度量。我問他為什麼，他說不知道如何向我解釋，因為我沒有充分理解微分幾何。
在我離開普林斯頓之後的幾個星期裡，Bill 沒有我的幹擾，有更多時間從事研究。對於特定的 Haken 流形，他完成了雙曲度量存在性的證明。而對於映射環面的情形，他後來又花了兩年多的時間。其中的細節本文後面會說。
在 Bill 講授的一門一學期課程裡，研究生和我都學到了很多關鍵的思想：
「雙曲幾何在無窮遠處變成共形幾何」的類比。讓人印象深刻的是，Bill 處理的方式是在雙曲空間內部而不是在無窮遠邊界處，他關注的是一個特殊的模型。這給我帶來完全不同的心理體驗。
我們學會極限點凸包的邊界曲面的內蘊幾何。一天，Bill 來上課，他在講臺上轉動一個他自己做的精巧的紙制裝置，不停地旋轉，而他卻不說任何話，直到我們領悟出平坦性為止。
我們還學到了雙曲曲面的厚薄分解。我記得 Bill 在普通房間的黑板上畫出有 50 米長不停環繞的曲面薄塊。忽然一切明朗起來，包括如何解釋在幾何上收斂到 Riemann 曲面組成的模空間上著名的 Deligne-Mumford 緊化上的點。
後來 Sullivan 在課上講解帶很「薄」的部分的雙曲曲面。
1976 秋，我在普林斯頓整整待了一個學期。Bill 和我討論如何理解 Poincare 猜想，希望證明一個對所有三維閉流形都成立的更一般性的猜想。我們的想法是建立在三維是相對較低的維數這個基礎之上。我們在一篇小文中論述，只要能證明三維閉流形都有共形平坦坐標，就可以證明整個 Poincare 猜想。我們決定在這個問題上共同花上一年。然而，當時在那兒學習的一位名叫 Bill Goldman 的本科生在幾年之後證明了這個前提是不正確的。（如果上數學家家譜網站查師承關係，可以查到 Thurston 與 Goldman 都是Hirsch 直接指導的博士。Thurston 為 Hirsch 帶來的學術後裔有 200 多個，而 Goldman 則帶來 30 多個。除了他們倆之外，Hirsch 的其他博士帶來的學術後裔加起來沒幾個。）
接下來，Bill 在普林斯頓發展了 quasi-Fuchsian 型 Klein 群的極限的理論，來尋找映射環面上的雙曲結構。與此同時，我在巴黎努力想解決 Ahlfors 的極限集零測度猜想。一年之後，他的研究取得了關鍵進展（把尖點封閉上了），而我的研究則在否定的方向上取得了極大進展（證明所有與已知 Klein 群信息有關的遍歷論方法都是不夠的，有太多深層次的非線性障礙）。在一次瑞士阿爾卑斯山上召開的會議上，我們對比了各自的筆記。他的整個映射環面證明計劃雖然完成了，但是證明過程非常複雜。而我否定方向的信息則能把 Mostow 剛性定理推廣成一般性的結論，這能在相當大的程度上簡化 Bill 在纖維化情形下的證明（參見次年Burbaki討論班關於 Thurston 工作的報告）。
Thurston 證明映射環面上存在雙曲結構的論文首頁。該項工作把三維流形的雙曲結構、Riemann 曲面、分形、填充二維區域的連續曲線等眾多領域聯繫了起來。
故事六
石溪會議，1978 年夏
在石溪舉行了一次關於Klein 群的盛大會議。Bill 出席了會議，但沒有發言。Gromov 和我邀請他即興做一個計劃之外的長時間的報告。這是一場通向雙曲三維流形無窮遠端、凸包、皺褶曲面、ending lamination 等等的美妙旅程。在報告的過程中，Gromov 湊過來跟我說，Bill 這次報告使他感覺這個方面的研究還沒真正開始。
凸包與皺褶曲面。雙曲球體表面有一條分形曲線，粉紅色與淺綠色的兩個皺褶曲面圍住的部分是該分形曲線在雙曲球體內部的凸包，作為凸包邊界的皺褶曲面在除了一個零測集之外都是測地曲面。| 圖片來源：http://vivaldi.ics.nara-wu.ac.jp/~yamasita/
故事七
科羅拉多，1980 年 6 月至 1981 年 8 月
Bill 和我一起在 Boulder 大學做 Ulam 訪問教授，在那裡舉辦兩個討論班：一個較大的討論班是把整個雙曲性定理的全部證明細節過一遍，另一個較小的討論班是關於Klein 群的動力系統以及一般性的動力系統。參加第一個討論班的許多研究生們共同檢查了雙曲性定理的全部證明細節。
有一天，在動力系統的討論班上，Thurston 遲到了。Dan Rudolph 正在精力充沛地對一個以往證明過程極度複雜的定理作簡化證明。這個簡化的證明在一小時之內就能講完。在兩個遍歷的保測度變換的軌道相差不太遠的前提下，該定理能把軌道等價類加強成共軛類。舊的證明 Katznelson、Ornstein 和 Weiss 用了一門短課才能解釋清楚，而新證明的引人注目之處在於僅僅用一小時就能完成。Thurston 終於來了，問我前面講了什麼，讓我幫他跟上進度。我都照辦了。
在講座即將結束的時候，Thurston 大聲向我耳語：證明的難點究竟在哪裡？我向他發出「噓」聲讓他安靜，提醒他應該尊重課堂環境。最後，Bill 說，只要想像一下：在一根線上布滿了珠子；珠子往線的兩端無窮地延伸，中間只有有限的間隙；然後讓它們都滑向左邊（同時他張開出雙臂給我作形象的說明）。只要把這個想法翻譯成標準的文字，就馬上能給出一個新的證明。那天晚些時候，Dan Rudolph 充滿敬畏地跟我說，他之前沒有想像到 Bill Thurston 會聰明到這個程度。
故事八
美國加州 La Jolla 與巴黎，1981 年夏末
在科羅拉多的經歷很愉快。Thurston 的幾何討論班在完全放鬆的氛圍中度過。某一天我們構想出了 8 種幾何模型，另一天我們為某個對象究竟應該命名為「manifold」還是「orbifold」而投票。我也正在寫幾篇我自己的關於 Hausdorff 維數、動力系統、極限集的測度的論文。接下來的夏天末尾，Thurston 回到普林斯頓。我則從巴黎飛到 La Jolla，給美國數學學會做一系列關於動力系統最新進展的特邀報告。為了達到更好的演講效果，我決定改變報告的主題，換成首次向數學界公開展示整個雙曲性定理！並且我也希望以此作為 Boulder 討論班結束後我給自己安排的一次期末考試。
在去往美國的飛機上，我只準備了一頁紙的概括性講稿。但將要講的報告卻一共安排了四到五天，每天兩場！第一天估計能勉強應付過去。我想：先講點綜述，剩下的再即興發揮一下吧。但是想把這麼重要的一系列報告做好，我需要極好的運氣。歷史性的時刻到了！
從巴黎到加州有 9 個小時的時差。剛到達的那天深夜我睡不著，到安排給我的辦公室裡準備報告的內容。很快我卻發現，關於雙曲性的論證過程，我碰到很多問題都沒法自行解答。這時我發現辦公室桌上的電話居然還可以打長途。此刻加州的時間是凌晨 4 點，普林斯頓的時間是早上 7 點。我打電話到 Thurston 的家，他接了。我向他陳述了我的問題，他先給出部分簡短的回答。我趕快用筆記下來。他說等送完小孩到學校再趕回辦公室之後給我回電話。當他在兩個半小時之後打電話給我時，我對他剛才的答案提出更多否定意見，而他又作出更加細緻的答覆。我們終於把所有可能產生問題的地方都處理完畢。
加州時間 8 點整，我準備好了兩場演講的材料。第一天順利度過：第一場報告，午餐，去沙灘，遊泳，第二場報告，晚餐，告別同事，回住處睡覺。重新看報告的錄像時我才發現，聽眾的陣容強大得可怕：Ahlfors，Bott，陳省身，Kirby，Siebenmann，Edwards，Rosenberg，Freedman，丘成桐，Maskit，Kra，Keen，Dodziuk……
來聽這次報告的人。作開場介紹的是德高望重的 Ahlfors。聽眾裡包含了當時幾何與拓撲領域幾乎所有的頂尖數學家。
Bill 和我每天重複這樣的事情，配合得很完美。每天加州時間早上 8 點的時候，我準備好我的兩場報告內容，做好一切提問的應對。當陳述 Bill 那些絕妙地控制住測地線長度的技術時，演講推向高潮！這些測地線是分支皺褶曲面在分支處的曲線。要估計它們的長度，利用的卻是內蘊曲面上測地流產生的動力系統的熵。這個熵又與分支曲面萬有覆蓋的面積增長率有關。但在負曲率的空間中，這個面積的增長速度卻又被雙曲球體的體積增長率所控制。證畢！不但如此，Thurston 還構造出一個漂亮的例子，表明估計的界是精確的。對於聽眾之一的 Harold Rosenberg（他是來自巴黎的精明的朋友）來說，這次報告的水平是超乎想像的。報告結束之後，他沮喪地問我：「Dennis，你是不是一直把 Thurston 鎖在你辦公室的樓上呀？」
Sullivan 闡述控制測地線長度絕妙證明的時刻。
我之前一直對這些報告背後的故事三緘吾口，直到現在才說出來。這一系列報告都被 Micheal Freedman 用錄像機記錄了。如今這些 Thurston-Sullivan 講座的視頻都能在網際網路上找到。
故事九
巴黎，1981 年秋
我在美國數學學會的演講大獲成功之後，Bill 來巴黎訪問我。我在私人辦公室買了個舒適的沙發床，以便於他休息。他很有禮貌地問了我以下兩個問題：一、如果之前在美國數學學會的演講上沒有把報告的主題換成他的雙曲性定理的話，我原定計劃講的是什麼內容；二、在科羅拉多，除了雙曲性定理的討論班之外，我似乎還在一直忙著別的東西，具體是在研究什麼。
關於這些，我總共有 6 篇計劃中論文的內容要告訴他。其中包括一個我從他那裡學到的最吸引人的想法：對於無窮遠球面上一個適當的集合來說，從雙曲球體內部一點看過去時，在視覺上的 Hausdorff 測度，能定義出一個雙曲三維空間中 Laplace 算子對應於本徵值 f(2-f) 的大於零的本徵函數。我向他陳述並解釋這些想法。每當我陳述完一個想法，他就馬上給出一個證明，或者我給出我證明的主要思路。這六篇論文裡的定理都被我們一一證明，有的是他證，有的是我證。我們差點漏掉一種情形：如果最後一個本徵函數 f>1 的話，規範化之後新的本徵函數的平方積分範數將可以通過凸核的體積來估計。Bill 躺回沙發床中，閉上雙眼想了沒多久，就很快把差點漏掉的這種情形證明了出來。他估計的方法是讓測地線無限延長，然後在橫截的方向求平均值。
隨後我們外出散步，從 Orleans 港穿過巴黎市區走到 Clignancourt 港。我們邊走邊沉浸在數學討論之中，以致於忘了自己身處何地。一直等到我們經過塞納河，聖母院和古監獄同時映入眼帘時，才想起來自己置身於美麗的巴黎。
故事十
從普林斯頓到曼哈頓，1982-1983
由於開始了長達 13 年的紐約市立大學 Einstein 研討班的主持職務，我不得不把時間分配開，一直在法國高等科學研究院和紐約市立大學研究生中心之間來回奔波。Einstein 研討班的主題一開始是動力系統與擬共形同胚，後來慢慢轉變成拓撲中的量子對象。Bill 則繼續發掘和訓練有天賦的學生，傳播雙曲空間那些漂亮的理論，培養出大批新一代年輕的幾何學家。Bill 推遲寫他那關於雙曲性定理論文的終稿。取而代之的，是讓他不斷培養起來的越來越多的新一代幾何學家們把整套理論發展到更加廣闊的天地中去。他在 20 世紀 70 年代初關於葉狀結構的論文震撼了該領域，但同時也終結了該領域的研究。他不想看到在雙曲幾何領域發生同樣的事情。
有一次，我們準備在曼哈頓聚一下，討論在單變量復動力系統、雙曲幾何，以及我之前研究的 Klein 群的各種類比。在公寓裡我們很隨意地討論，討論話題也開始拓展延伸。最後我們在 Bill 乘火車回普林斯頓之前 30 分鐘制定好了研究計劃。我概括了一般性的類比：龐加萊極限集、不連續域、復結構的形變、剛性定理、分類空間、Ahlfors 有限性定理、Ahlfors 與 Bers 的工作……與以下概念相比較：Julia 集、Fatou 集、非遊蕩域定理、Hubbard 與 Douady 的工作……他快速完整地吸收了這些想法，然後離開去坐火車。
兩周之後，我們聽說他用 Teichmüller 空間上不動點的觀點改寫了整個復動力系統的理論，其中的部分手法與他的雙曲性定理異曲同工。若干年後許多新的結果相繼湧現，比如 McMullen 的工作。自此，復動力系統的研究提升到了一個更高的水平。
後 記
在 2011 年 Banff 舉行的 Jack Milnor 的 80 歲壽宴上，我和 Bill 再次相遇。在 30 年之後，我們從之前研究中斷的地方重新開始。（當我第二次見到他的綠色格子襯衫時，我稱讚這件衣服，第二天他就把衣服送給了我。）我們還約定一起去攻克 Klein 群和復動力系統框架裡遺留下來的一個大問題：不變線場猜想。這是一個好主意，不幸的是，它永遠都不可能實現了。
Thurston 在 Banff 的會議上講解多項式迭代與熵之間的聯繫。
在那次會議上，當 Jeremy Kahn 報告他和 Markovic 合作的對長達數十年之久的子曲面猜想作出的證明的時候，Bill 小聲對我說：「我忘了取偏移這一步了。」在 Kahn-Markovic 的證明中，需要把所有可能的理想三角形粘起來，構造出浸入的曲面，然後把遍歷理論應用到在這個空間的作用上。當兩個理想三角形沿著一條邊粘合時，各自的中心在粘合的邊上的垂足也許並不吻合，而是可以差了一個偏移量。這一步偏移保證了取極限時不遺漏任何東西，這也正是 Bill 之前的證明裡漏掉的。我帶著極為愉快的心情看到 Kahn 和 Markovic 完成了證明。證明的每一步都讓我回憶起 30 多年前 Bill 發明的類似關鍵思想與技術。這些思想與技術都傳遞到他在普林斯頓的門徒們那兒了。
同一次會議上 Kahn 講解他與合作者的技術。
本文英文原文出自 Notices of the A.M.S.，2015 年 11 期。中文翻譯曾發表於杜曉明科學網博客，此文為最新修訂版，原文題目為「沃爾夫獎得主Sullivan：菲爾茨獎得主Thurston的十個故事」，現標題為編者所加。原文連結：https://www.ams.org/journals/notices/201511/rnoti-p1318.pdf
原標題：《做數學如魔術表演——菲爾茨獎得主Thurston的十個故事》
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