第四章 有關圖形的知識點歸納和練習
本章內容知識點較多，也是中學生必須要掌握的內容，每年中考也是必考知識點.題型涵蓋選擇題、填空題、解答題，考查內容也是比較多、佔分量比較大的一個章節.希望同學們一定熟練掌握以下內容.
4.1線段與角、相交線與平行線
一、線段與角
（1）兩點確定一條直線；兩點之間線段最短.
（2）連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.
（3）如果點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與BM,那麼點M叫做線段AB的中點，即AM=BM=1/2AB；反之當有AM=BM=1/2AB時，則可以判斷點M為線段AB的中點.
（4）有公共端點的兩條射線所組成的圖形叫做角，也可以把角看成是由一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.
（5）1周角=2平角=4直角=360度，1°=60'，1'=60″.
（6）小於直角的角叫做銳角；大於直角而小於平角的角叫做鈍角；度數是90°的角叫做直角.
（7）兩個角的和等於90°時，稱這兩個角互餘；兩個角的和等於180°時，稱這兩個角互補.
（8）同角（或等角）的餘角相等；同角（或等角）的補角相等.
二、相交線與平行線
（1）一個角的兩邊是另一個角的兩邊的反向延長線，則稱這兩個角是對頂角，對頂角相等.
（2）平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
（3）連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長度，叫做點到直線的距離.
（4）過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.
（5）平行線的性質:兩條直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補.
（6）平行線的判定:同位角相等或內錯角相等或同旁內角互補，這兩條直線平行.
（7）同時平行於一條直線的兩條直線互相平行.
針對練習填空題:（答案附底部）
1.如圖，AB∥CD,∠1=58°,FG平分∠EFD,則∠FGB的度數等於( ).
2.如圖，直線AB∥CD,∠BAE=45°,∠AEC=100°,且∠CDF=25°,則∠F的度數為（ ）.
3.將一副三角板的直角頂點重合併按如圖所示放置，其中BC∥AE,則∠ACD的度數為（ ）.
4.如圖，AB∥CD,∠CDE=119°,GF交∠DEB的平分線EF於點F,∠AGF=130°,則∠F=（ ）.
5.如圖，有一塊含有30°角的直角三角板的兩個頂點放在直尺的對邊上，如果∠2=28°,那麼∠1的度數是（ ）.
4.2 三角形及其性質
一、三角形相關概念
（1）三角形的定義
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.
（2）三角形的中位線
①定義:連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.
②性質:三角形的中位線平行於第三邊，且等於第三邊的一半.
（3）三角形三邊關係
①三角形兩邊的和大於第三邊.
②三角形兩邊的差小於第三邊.
（4）與三角有關的角
①定理:三角形三個內角和等於180°
②推論:
直角三角形的兩個銳角互餘.
三角形的一個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和.
二、三角形全等
（1）全等三角形的性質
全等三角形的對應邊相等，對應角相等，對應線段（高、中線、角平分線）相等.
（2）全等三角形的判定
判定1:三邊分別相等的兩個三角形全等（簡寫成「邊邊邊」或「SSS」）.
判定2:兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（「邊角邊」或「SAS」）.
判定3:兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（「角邊角」或「ASA」）.
判定4:兩角和其中一個角的對邊分別相等的兩個三角形全等（「角角邊」或「AAS」）.
判定5:斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（「斜邊、直角邊」或「HL」）.
（3）角平分線的性質
角平分線上的點到角的兩邊的距離相等；
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
三、利用三角形「三線」的性質解題
①三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，常與三角形的面積相關；
②與三角形內角和相聯繫可解決三角形相關角度的計算；
③由三角形的中線可得線段之間的關係；
④由三角形角平分線可得角之間的關係；
4.3 等腰三角形和直角三角形
一、等腰三角形
（1）定義:有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.
（2）性質:
等腰三角形是軸對稱圖形，一般有一條對稱軸.
等腰三角形的兩底角相等（等邊對等角）
等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合.
二、等邊三角形
（1）定義:三條邊都相等的三角形是等邊三角形.
（2）性質:
①三個內角都相等，分別是60°.
②有三條對稱軸.
③每條邊上的中線、高、角平分線互相重合（三線合一）.
④等邊三角形的重心、內心、外心、垂心重合於一點（四心合一）.
⑤等邊三角形內任意一點到三邊的距離之和為定值（等於其高）.
三、直角三角形
（1）定義:有一個角是直角的三角形是叫做直角三角形.
（2）性質:
①直角三角形的兩個銳角互餘.
②直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
③在直角三角形中，30°的角所對的直角邊等於斜邊的一半.
④勾股定理:兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方.
（3）判定定理
①如果三角形一邊上的中線等於這條邊的一半，那麼這個三角形為直角三角形.
②勾股定理的逆定理:如果三角形的兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼這個三角形是直角三角形.
針對練習填空題:（答案附底部）
6.如圖，在△ABC中，以點B為圓心，以BA長為半徑畫弧交邊BC於點D,連接AD.若∠B=40°,∠C=36°，則∠DAC的度數是（ ）.
7.如圖△ABC中，AC=8,BC=5,AB的垂直平分線DE交AB於點D,交邊AC於點E,則△BCE的周長為（ ）.
8.如圖，△ABC中，∠ABC=90°,∠A=30°,BC=4.若DE是△ABC的中位線，延長DE交∠ACM的平分線於點F,則DF的長為（ ）.
9.如圖，在直角△ABC中，∠C=90°,AC=3,BC=4,點D ,E為AC,BC上兩個動點，若將∠C沿DE摺疊，點C的對應點C'恰好落在AB上，且△ADC'恰好為直角三角形，則此時CD的長為（ ）.
10.如圖，△ABC是等邊三角形，延長BC到點D,使CD=AC,連接AD.AB=2，則AD的長為（ ）.
4.4多邊形與平行四邊形
（1）在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角，多邊形的角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做多邊形的外角.同一頂點處的內角與外角互為鄰補角.
（2）n邊形的內角和為:
（n-2）×180°；外角和為360°
（3）在平面內，各內角都相等，各邊也都相等的多邊形叫做正多邊形.
（4）在多邊形中，連接互不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線.從n邊形的一個頂點可以引(n-3)條對角線.這些對角線可將n邊形分成(n-2)個三角形.n邊形共有n(n-3)/2條對角線.
二、平行四邊形
(1)定義:兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
(2)平行四邊形的性質:
①平行四邊形的兩組對邊分別平行且相等.
②平行四邊形的兩組對角分別相等.
③平行四邊形的對角線互相平分.
④平行四邊形是中心對稱圖形,對角線的交點是對稱中心.
⑤平行四邊形的面積=底×高.
(3)平行四邊形的判定
①兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.
③兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
④兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
(4)平行線之間的距離
兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離叫做這兩條平行線間的距離.
4.5特殊的平行四邊形
一、矩形
(1)定義:有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
(2)矩形的性質
①矩形的四個角都是直角.
②矩形的對角線相等且互相平分.
③矩形即是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.
④矩形具有平行四邊形的所有性質.
(3)矩形的判定
①有一個角是直角的平行四邊形是矩形.
②對角線相等的平行四邊形是矩形.
③有三個角是直角的四邊形是矩形.
二、菱形
(1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
(2)菱形的性質
①菱形的四條邊相等.
②菱形的兩條對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角.
③菱形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形.
(3)菱形的判定
①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
②對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
③四條邊都相等的四邊形是菱形.
(4)菱形的面積
S菱形=ab/2(a,b分別為兩條對角線的長)
三、正方形
(1)定義:有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫做正方形.
(2)性質:
①兩組對邊分別平行，四條邊都相等，相鄰兩邊互相垂直.
②四個角都是90°
③對角線互相垂直、相等、互相平分.
④是中心對稱圖形又是軸對稱圖形.
(3)判定
①一組鄰邊相等的矩形是正方形.
②有一個角是直角的菱形是正方形.
③對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形.
④四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形是正方形.
針對練習填空題:（答案附底部）
11.如圖，在矩形ABCD中，AD=3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到矩形AEFG,點B的對應點E落在CD上，且DE=EF,則AB的長為（ ）.
12.如圖，在邊長為1的菱形ABCD中,∠ABC=60°，將△ABD沿射線BD的方向平移得到△A'B'D'，分別連接A'C，A'D，B'C，則A'C+B'C的最小值為（ ）.
13.如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在BC邊上，且AE⊥BC於點E,DE平分∠CDA,若BE:EC=1:2，則∠BCD的度數為（ ）.
14.如圖，將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中，使點M,N分別在AB,AD邊上滑動，若MN=6，PN=4，在滑動過程中，點A與點P的距離AP的最大值為（ ）.
15.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC,按如下步驟作圖:①分別以點A、D為圓心，以大於1/2AD的長為半徑在AD兩側作弧，交於兩點M、N；②連接MN分別交AB、AC於點E、F；③連接DE、DF.若BD=6，AF=4，CD=3,則BE的長是（ ）.
填空題答案:
1.（151°）；2.（30°）；3.（30°）；4.（9.5°或9°30'）；5.（32°）；6.（34°）；7.（13）；8.（6）；9.（12/7或4/3）；10.（2√3）；11.（3√2）；12.（√3）；13.（120°）；14.（8）15（8）.