中考難點,靈活構造等角,巧妙破解相似存在性壓軸難題

2020-12-19 中學數學精準輔導

相似三角形存在性問題，是各地中考和模擬考試壓軸題的熱點問題，這種類型的題目綜合性較強,更重要的是涉及方程與函數思想、數形結合思想、分類討論等重要的思想方法,對學生分析、解決問題的能力具有較高的要求。筆者擬就最新考題為例，從構造角度的角度，解密相似存在性問題。

我們知道，當題目表述成文字形式的「相似」而不是符號表達的「∽」，此時兩個相似三角形就不存在對應關係，分類複雜難辨！但命此類題大多都是有跡可循的，往往題目中涉及的兩個相似三角形會存在一組關鍵的相等角，這組相等的角一定是對應角，從而將複雜難辨的多種分類迅速簡化成最多兩類情形，下面以題來論，你會更清楚！

典型考題舉例

從公共角出發，構造等角尋相似例1.（2019婁底中考題）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交於點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交於點C，且過點D（2，﹣3）．點P、Q是拋物線y＝ax2+bx+c上的動點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P在直線OD下方時，求△POD面積的最大值．

（3）直線OQ與線段BC相交於點E，當△OBE與△ABC相似時，求點Q的坐標．

【解析】（1）函數的表達式為：y=a（x+1）（x-3），將點D坐標代入上式並解得：a=1，

故拋物線的表達式為：y=x2-2x-3…①；

2.平行構造相等角，構造等角尋相似

例2.（2018德州中考題）如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝x﹣1與拋物線y＝﹣x2+bx+c交於A、B兩點，其中A（m，0）、B（4，n），該拋物線與y軸交於點C，與x軸交於另一點D．（1）求m、n的值及該拋物線的解析式；

（2）如圖2，若點P為線段AD上的一動點（不與A、D重合），分別以AP、DP為斜邊，在直線AD的同側作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，連接MN，試確定△MPN面積最大時P點的坐標；

（3）如圖3，連接BD、CD，在線段CD上是否存在點Q，使得以A、D、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【解析】（1）把A與B坐標代入一次函數解析式求出m與n的值，確定出A與B坐標，代入二次函數解析式求出b與c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN為直角，由兩直角邊乘積的一半表示出三角形MPN面積，利用二次函數性質確定出三角形面積最大時P的坐標即可求當m＝2，即AP＝2時，S△MPN最大，此時OP＝3，即P（3，0）；

（3）存在，分兩種情況。

3.三角函數值求證相等角，構造等角尋相似

例3.（2019郴州中考題）已知拋物線y＝ax2+bx+3與x軸分別交於A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交於點 C．

（1）求拋物線的表達式及頂點D的坐標；

（2）點F是線段AD上一個動點．

①如圖1，設k＝AF/AD，當k為何值時，CF＝1/2AD？

②如圖2，以A，F，O為頂點的三角形是否與△ABC相似？若相似，求出點F的坐標；若不相似，請說明理由．

【解析】（1）將A、B兩點的坐標代入二次函數解析式，用待定係數法即求出拋物線對應的函數表達式，可求得頂點D（﹣1，4）；

（2）①由A、C、D三點的坐標求出AC＝3√2，DC＝√2，AD＝2√5，可得△ACD為直角三角形，若CF＝1/2AD，則點F為AD的中點，可求出k的值；

②由條件可判斷∠DAC＝∠OBC，則∠OAF＝∠ACB，若以A，F，O為頂點的三角形與△ABC相似，可分兩種情況考慮：當∠AOF＝∠ABC或∠AOF＝∠CAB＝45°時，可分別求出點F的坐標．

4.題無定角，分類討論相等角，尋相似

例4.（2019襄陽中考題）如圖，在直角坐標系中，直線y＝﹣1/2x+3與x軸，y軸分別交於點B，點C，對稱軸為x＝1的拋物線過B，C兩點，且交x軸於另一點A，連接AC．

（1）直接寫出點A，點B，點C的坐標和拋物線的解析式；

（2）已知點P為第一象限內拋物線上一點，當點P到直線BC的距離最大時，求點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在一點Q（點C除外），使以點Q，A，B為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

解題反思總結

在坐標系中確定點，使得由該點及其他點構成的三角形與其他三角形相似，即為「相似三角形存在性問題」．求解的出發點為根據題目給的已知條件選擇恰當的判定方法，解決問題．通常相似的兩三角形有一個是已知的，而另一三角形中有1或2個動點，即可分為「單動點」類、「雙動點」兩類問題．

常見思路分析如下：根據相似三角形的做題經驗，可以發現，判定1基本是不會用的，這裡也一樣不怎麼用，對比判定2、3可以發現，都有角相等！所以，要證相似的兩個三角形必然有相等角，關鍵點也是先找到一組相等角．然後再找：思路1：兩相等角的兩邊對應成比例；思路2：還存在另一組角相等．事實上，坐標系中在已知點的情況下，線段長度比角的大小更容易表示，因此選擇方法可優先考慮思路1，構造等角兩邊對應成比例．解題的關鍵是找到一組關鍵的相等角，這是第一步，而這組相等的角有時題目會很明顯地交代出來，有時比較隱晦，需要自己有意識地去尋找這些特殊關係！

其中「一線三等角」是極其重要的相似形，在解題中可將其視為「工具」，其運用分三重境界，一重境是一線上已具備三個等角，只需識別模型，再證明相似，直接運用；二重境是一條線上有兩個等角，需在補上一個等角，構造模型解題；三重境是一條線上只有一個等角，需補上兩個等角，構造模型解題。這種模型的關鍵是一線加頂點在這條線上的三個等角，解題時模型完整則直接用之，模型殘缺則補全模型再用之．

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