淺析最美數學公式——歐拉公式之推導歸納

2020-12-11 starofAlzat

本文是基於作者在高等數學和複變函數這兩門課程教學過程中的一些思考, 整理並總結了有關於大家熟知的歐拉公式在不同數學分支裡的詳細推導方法和推導過程, 以便為相關學者提供參考和借鑑。

學習過高等數學的的人都學過歐拉公式, 還知道歐拉公式是指以歐拉命名的諸多公式之一。其一般形式如下 :

歐拉公式的一般形式

首先, 我們先以所有本科生的必修課高等數學這門課程為基礎來研究, 當我們學習了級數的基本知識, 這個公式的推導就可以總結如下 :

下面先給出一些級數部分的預備知識, 即在學習級數章節的函數展開成冪級數的內容中, 我們學習了三個重要函數——餘弦cos x、正弦sin x、指數ex 函數的冪級數展開, 當時我們用直接展開法將其分別展開為x的麥克勞林冪級數, 現將其展開式的結論複習如下:

接下來, 我們作如下數據處理, 在指數函數ex 函數展開式中的x用ix變量替換, 其他什麼都不變, 這樣便有如下新的展開結果 :

由眾所周知的基本複數知識可知,

再將之前我們複習過得正餘弦函數cos x、sin x的展開式代入上述結論便得,

即，

這個恆等式也叫做歐拉公式, 它是數學裡最令人著迷的一個公式, 它將數學裡最重要的幾個數字聯繫到了一起 :兩個超越數 :自然對數的底e , 圓周率π , 兩個單位 :虛數單位i和自然數的單位1, 以及被稱為人類偉大發現之一的0。數學家們評價它是「上帝創造的公式」。

以上歸納了歐拉公式在高等數學中的詳細推導過程, 接下來在學習了複變函數課程中的相關知識後我們在對該公式的推導做如下整理歸納如下 :

大家都知道實初等函數指的是——冪、指、對、三角、和反三角這五類基本初等函數通過有限次的四則運算和複合運算能夠用一個式子表示的函數, 那麼在我們學習複變函數這門課程的過程中, 當然也會引入類似於實初等函數的復初等函數, 當我們引入了復初等函數的概念之後, 我們就可藉助復初等函數中的復指數函數的定義來推導歐拉公式, 推導過程簡潔明了, 現歸納如下 :

在複變函數這門課程中, 復指數函數是這樣定義的 :

接下來只要我們令復指數函數中複數z=x +iy的實部x =0即可, 從而

即，

同理用θ替換上式中的y便可寫成如下歐拉公式的一般形式 :

綜上, 我們分別藉助高等數學中的級數部分的知識和複變函數中的復初等函數解決了歐拉公式的推導, 相比之下, 復函的推導更簡潔, 但復函並不是所有的本科生的必修課, 所以學生對此可能比較生疏, 作為老師歸納上述結果也為的是讓學生多方面的了解這個所謂的公認為是「上帝創造的公式」, 也是迄今最美的數學公式。

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