看得懂的數學之美:從青年歐拉對巴塞爾問題的解法說起

2020-12-04 機器之心Pro

機器之心報導

參與：思、肖清

什麼是數學之美？就是思考的時候忘記時間的流逝，解答或證明後無與倫比的快樂。

歐拉，歷史上最重要的數學家之一，也是最高產的數學家，平均每年能寫八百多頁論文。我們經常能見到以他名字命名的公式與定理，可能最廣為人知的便是「世界上最美的公式」歐拉公式。

先不說它的具體意義，能將自然數、虛數、π、0 和 1 這幾個最基本的元素組合在一起，就是令人驚嘆的美。歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域，同時建立三角函數和指數函數的關係，被譽為「數學中的天橋」。

這樣的數學方程是極具美感的，而要構建這樣的方程，整個思考與推導過程同樣是非常優美的。數學最吸引人的地方，就在於這一步步推導的過程，一種撥開雲霧見月明的感覺。

在本文中，我們希望通過一步步重現歐拉解巴塞爾問題的過程，體會到這種數學之美。

巴塞爾問題是一個著名的數論問題，這個問題首先由皮耶特羅·門戈利在 1644 年提出，由歐拉在 1735 年解決。由於這個問題難倒了以前許多數學家，歐拉一解出這個問題馬上就出名了，當時他二十八歲。這個問題是以瑞士的第三大城市巴塞爾命名的，為了紀念它是歐拉和伯努利家族的家鄉。

文章將解釋歐拉是如何解決著名的巴塞爾問題的，看看如何用簡單的 sin(x) 函數和多項式，再藉助泰勒級數的強大能力，解決這個問題。

巴塞爾問題

巴塞爾問題起先在 1650 年就提出來了，它的目標在於求解某一離散無窮數列的和，具體來說，巴塞爾問題可以描述為如下：

如果讀者們還記得高數，記得無窮級數，你就會發現巴塞爾問題其實就是一個冪級數求和問題。當時很多學者都在想方法去計算這個問題，但歐拉在 28 歲時就證明了它，使得數學界非常驚嘆。歐拉最初的證明方法並不一定是非常嚴格的，但它是非常優美的，簡潔的過程與新奇的想法，使得我們能體會到「數學之美」。

歐拉最初的想法來自 sinc(πx) 函數，他將該函數定義為如下：

函數的圖像如下所示，當 x 趨向於 0 時，因為 sin(x) 與 x 的速度等同，它們相除最終會收斂到 1。之所以要構造這個函數，答案就藏在它的零點，即當 sinc(πx) = 0 時 x 的所有取值。

為了理解這一點，考慮如下四次多項式的零點，很明顯當 x 分別等於 和 等常量的時候存在零點。

如果將上述展開為一般的多次方程，我們可以得到如下表達式。這裡需要注意的是平方項前面的係數，它看起來有構造成巴塞爾問題的可能性，畢竟分母都是兩個數相乘。

歐拉的策略就和它一樣，只要構造成連乘的狀態，我們就可以了解到方程的零點。如果某一個函數所有零點等同於另一個函數的所有零點，那麼至少在零點附近，它們是近似的。這樣就構建了個等式，只要一邊有巴塞爾問題，它就是可解的。

雖然想法很好，但如果要類比巴塞爾問題，真實的展開式需要是一種超越函數（transcendental function），即變量之間的關係不能通過有限次的基本數學運算表示，例如 sin(x) 等三角函數就是超越函數。

超越函數

這種函數並不是指方程 4 那種有限的多項式函數，指數函數、三角函數及對數函數才是最出名的超越函數.

上圖所示分別為指數函數，對數函數及三角函數的圖像。之前已經介紹過 sinc(πx) 函數了，可以看出來，該函數的零點就是所有正負整數。

歐拉藉助下面我們非常熟悉的數學轉換來展開 sinc(x) 在零點的情況。

因為 sinc(πx)/πx 的零點為正負 n，其中 n 是自然數，那麼根據 上文方程 3 的思想，該函數可以寫為如下的連乘形式。這種形式展示了當 sinc(πx)/πx=0 時，它的所有根。

下一步只需要展開到平方項就行了，至於為什麼，等一下就知道了。這個也好解決，分別用 1 和 -x^2 去乘以後面的項就行了，1 每次只能乘以一個二次項和所有零次項，才能保證它是最終二次項的係數。

現在等式右邊已經完全展開了，我們可以看到平方項係數存在 1/n^2（n 為 1、2、3...），這就是最終需要計算的巴塞爾問題。但左邊還沒有展開，我們現在還算不出該級數的最終結果。

如果我們把等式左邊的 x 移到右邊，即產生了一個 x 三次方項，現在左邊只剩下 sinc(πx)。現在學過泰勒展開式的你知道要怎麼解了嗎？只需要把 sinc(πx) 展開到 x 的立方項，那麼立方項的係數肯定是相等的，因此也就能解出巴塞爾問題了。

泰勒級數

泰勒級數使用無限項連加的形式來表示某一函數，每一項都是由該函數在某一點的 n 階導數計算得來。我們可以理解為，泰勒級數採用無窮的子項去逼近某一個連續可導函數，每一個高階導數，都是對該值的一點點逼近，最終收斂到該函數。

圖 6. 當泰勒級數的數目不斷增加，它最終將收斂於其表示的那個函數。圖中黑色曲線代表 sin(x) 函數。其他曲線為其對應不同階次的泰勒展開式，也就是最高次冪分別為 1，3，5，7，9，11 和 13 的多項式。

我們還記得，需要找的是逼近 sinc(πx) 立方項的係數，圖 6 中的 7 個泰勒展開式具有如下形式：

現在方程 7 整個左邊可以根據泰勒展開式表示為如下，我們需要抽取出 x 平方的係數。

我們可將式 8 看做具有無窮次冪的「偽多項式」，這樣的偽多項式有無窮多個根，其對應的根由式 5 給出。但我們現在不想關心它的性質，我們只想用係數解出巴塞爾問題。

聯繫等式左右，解決問題

通過聯立式 7 和式 9 sinc(x) 展開後的二次項係數，即可得到我們最初想要解決的巴塞爾問題：

不僅如此，歐拉的推導過程產生了著名的 Wallis 乘積公式。僅需將 x = 1/2 代入式 6 並求其倒數即可得到：

現在，我們跟著歐拉解決了巴塞爾問題，整個思考過程不涉及複雜的數學技術與概念。只需要一步步跟著它的思路走，就能通過一系列巧妙的變換，解決數學難題。這樣的思考過程、邏輯推理過程，正體現著數學之美。

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