求圓x^2+y^2=4上點A(a,b)處切線的方法

2021-01-08 網易

2021-01-05 10:20:02 來源: 楚鄂新阿

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主要內容:

  介紹通過解析幾何法、導數幾何意義法,求解經過圓x^2+y^2=4上點A(1,√3)處切線的方法和步驟。

  解法一:解析幾何法

  設切線的斜率為k,則切線的方程為:

  y-√3=k(x-1),

  代入圓的方程得:

  x^2+[k(x-1)+√3]^2=4

  x^2+k^2(x-1)^2+2√3(x-1)k-1=0

  (1+k^2)x^2-2k^2x+k^2+2√3kx-2√3k-1=0

  (1+k^2)x^2-2k(k-√3)x+(k^2-2√3k-1)=0

  因為此時是求直線與圓的切線,即x只有一個解,

  則該關於x的方程的判別式為0,所以:

  △ =4k^2(k-√3)^2-4(1+k^2)(k^2-2√3k-1)=0

  k^2(k^2-2√3k+3)-1(1+k^2)(k^2-2√3k-1)=0

  化簡得:3k^2+2√3k+1=0,

  (√3k+1)^2=0,即:k=-√3/3。

  故切線的方程為:

  √3y-3=-x+1,故切線的一般方程為:

  x+√3y-4=0。

  

解法二:導數幾何意義法

  x^2+y^2=2^2,兩邊同時求導得:

  2x+2yy´=0,即:y´=-x/y。

  導數的幾何意義實際上是曲線上切線斜率構成的函數,稱導函數,簡稱導數。

  對於本題,切點A處的導數等於此處切線的斜率k,即:

  k=y´=-√3/3,故切線的方程為:

  y-√3=-√3/3(x-1),

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