學習微積分要明白形式是為內容服務的,所以才有形式運算

2020-12-18 虹野看教育

學習微積分一定要明白形式是為內容服務的，所以才有琳琅滿目的形式運算

學習微積分最痛苦的莫過於各種形式的概念，極限有描述性定義，還有定量定義，連續性也有樸素直觀定義，還有各種各樣的定量定義，甚至極限定量定義本身就是來自於邏輯，導數也有y'和dy/dx的區別……琳琅滿目的形式讓學生學習和使用的時候無從取捨。很多學生即便是學完了微積分的課程，也能計算很多題目，但是對於微積分中的各種概念的理解依然停留在直觀和樸素的程度。

我們知道，直觀和樸素的概念定義大都是以圖片和日常語言呈現出來，非常有利於我們大腦的內部加工，也非常容易記憶。我們非常容易地記住當n趨向於∞的時候，數列的無限接近a，a就是數列的極限。但是想非常清晰地記住ε-N定義則就不容易了，更不用說後來還有關於ε-X，ε-δ以及M-N，M-X，M-δ共計63個相關定義的表示，如果再加上連續的定量定義，這個數量更多。

在這種情況下，很多學生會認為關於極限的定量定義是沒有意義的，以至於長期使用樸素的極限定義來思考問題，以至於後續無法繼續學習，或者不知道如何使用極限定量定義思考和解決一些問題。對於長期把數學當作形式計算的學生來說，根本沒有意思到變量數學的形式變化只是為了內容服務的，變化形式太多的時候，變形的選擇就非常重要了。

樸素的極限定義，非常便於思考，也非常容易引發聯想，但是卻無法操作。儘管極限的概念讓我們涉足無限領域，但是人類解決問題還是從有限開始的，我們需要一個合適的形式來把從有限到無限的過程給表示出來，極限的定量定義就是一個非常好的表示形式。用ε表示因變量與某個值的接近程度，用δ，N，X等表示自變量的範圍，這種形式非常好地契合了函數的概念，讓本屬於有限範疇的認知進入到了無限領域，且具有實際操作性。

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