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歐拉方程是迄今為止最美麗的數學公式。它簡單、優雅，匯集了一些最重要的數學常數，並有奇怪的數學和物理解釋。
讓我們仔細檢查一下。
這個公式
歐拉的標誌公式就是本文標題中顯示的那個。讓我們再來看看這裡：
自從這個三項公式被創造出來以來，它就一直讓全世界的數學家們感到驚訝，因為它建立了包含在其中的不同元素和它的不同解釋之間的驚人聯繫。
在這篇文章中，我們將試著揭開歐拉身份的神秘面紗，並展示它的神奇之處。
在那之前，讓我們看看這個公式是怎麼來的。
歐拉恆等式的歷史。
1714年，英國物理學家和數學家羅傑·柯特用一個公式建立了對數、三角函數和虛數之間的關係。
20年後，萊昂哈德歐拉(Leonhard Euler)得出了同樣的公式，但使用的是指數函數而不是對數。這兩個公式以及如何從一個到另一個在下面的圖中進行了說明。
1714年的Roger』科特斯方程(上)，1748年的歐拉公式(下)值得注意的是，沒有一個作者看到他們的公式的幾何內涵，我們將在後面討論。
現在，如果我們詳細說明歐拉公式x =π的值，我們得到了著名的歐拉恆等式。
通過用x代替Euler公式中的π，我們得到Euler的恆等式讓我們分別研究一下這個公式中涉及的不同元素。
首先也是最重要的人物是萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）。他對數學和物理世界的貢獻從圖形和數論到流體力學。
現在，讓我們來看看這個公式和它的不同的項。
首先是指數函數e，這個函數很特殊，有很多原因，首先，它是自己的導數。
如果你把f(x) = e^x看作位置，它的導數是速度，這意味著速度總是等於位置。如果我們在位置e，速度也是e。如果移動更遠e，然後速度也是e。酷吧？同樣，如果我們稍微改變一下函數，就像這樣，b是一個實數：
然後我們得到速度與速度成正比。後與之前相同的例子，如果b = 2我們可以得到，在x = 2,我們可以得到e位置和2 e速度。速度是速度的兩倍。接下來會發生什麼，如果不是實數，而是一個虛數，就像這樣：
按照前面例子的敘述，讓我們看看這對於位置和速度之間的關係意味著什麼。為此，我們必須超越我們的實數感知，擴展到複雜平面上。它是這樣的：
在複平面上，實數乘以i，意味著從實軸到虛軸旋轉90度。稍後將對此進行詳細介紹。最後以e結尾，它還存在於廣泛的物理現象中，是放射性、電子學和人口增長的關鍵元素。
虛數：i。最初，數字的發明是為了記錄整個物體的數量。自然數就是這樣產生的。然後，需要一種機制來跟蹤某人何時欠了另一個人一個完整的對象。整數誕生了，它是以前自然數向負數的延伸。
在這之後，需要記錄分數，或整個物體的一部分，產生了有理數。最後，描述分數小數的數字永遠繼續下去(如π)被發現在數學，因此無理數出生。所有之前的數字都屬於實數範疇。
虛數是另一種性質的東西。
在他們出生的時候，虛數被認為是一種數學工具，用來處理負數的平方根，而「虛數」這個詞帶有貶義。i，表示虛數的字母，等於-1的平方根。
直到我們歐拉出現，-1的平方根才被賦予了這個字母作為表示法，並開始被認為是有用的。在此之後，它自然地出現在各種各樣的物理問題中，如電和磁定律，或波動力學。
圓周率 π。這個神奇的無理數不需要介紹。它在數學中無處不在，它在這裡的出現。最後，0和1。這些數字是其他所有數字的來源。使用這兩個，可以獲得任何現有的數字。現在，在快速演示了歐拉公式之後，讓我們看看它們是如何完美地結合在一起的。
演示
在我們看到歐拉公式的精彩解釋之前，讓我們先證明它是正確的，並對如何從數學上得到它給出一些見解。
這個工具就是著名的泰勒級數。對於那些從未聽說過它們的人，不要害怕，它們只是複函數的多項式近似，如指數函數、三角函數、對數函數等……
你不需要記住這些，它們只是多項式函數(在表的右邊)，與它們所近似的複函數(在表的左邊)有相似的值。
現在，這裡只有三個問題困擾著我們，指數，餘弦和正弦。
仔細看看這些。它們看起來很相似，對吧?就像指數是餘弦和正弦的某種組合，有不同的符號。它們是如何一起形成歐拉公式的呢?首先，讓我們看看指數函數的級數是怎樣的如果我們邀請我們的朋友i來參加聚會。
指數函數的泰勒級數，指數為ix注意，我們是如何根據這一項及其多項式值，根據以下順序得到i、-i、1或-1的:
不同多項式指數的i的值現在，讓我們仔細研究一下e^ix的級數。
e^ix的泰勒級數是cos(x)和i*sin(x)的組合如果我們看一下替換項，我們可以看到，橙色的是cos(x)的泰勒級數，藍色的是sin(x)乘以i的泰勒級數。因此：
歐拉公式證明!好了，不好意思，這道數學題太難了，現在，我們來看看它的解釋。
歐拉公式的幾何解釋
為了理解這個公式的解釋，我們必須還原複平面。
通過查看此圖，我們可以看到每個角度α都給我們一個半徑為1的圓周點：（cos（α），sin（α））。我們還可以看到cos（α）代表這一點的實部，而sin（α）代表虛部。此類坐標由直角坐標上的兩個值組成，這些坐標由平面上的點定義，並具有兩個來自正交方向的值。
這和歐拉方程有什麼關係?讓我們把它使用α。
這是在告訴我們，如果我們取任意數量的弧度並將其插入到α中，我們得到的就是圍繞此半徑為1弧度的半徑1的圓周旋轉，這反過來又意味著我們處於該點（cos（直角坐標系中的α），sin（α））。
關於指數（e）的神奇之處在於，如果我們考慮將一個數字提高到一個虛數指數，就是圍繞半徑1的這個圓周旋轉α弧度，如果我們採用除e以外的任何其他數字並且這樣做，我們將會繞圓周移動一定距離，如下圖所示：
讓我解釋。當我們取數字2並將其提升到iα時，如果α= 1弧度，我們將在橙色點上，因此沿著圓周從灰色的「 開始」點到橙色點（沿黃線）移動了一段距離為0,693。
如果我們對數字5這樣做，我們就會從灰色點到綠色點1,609走了一段距離。然而,如果我們使用神奇數字e我們旅行的距離是1,一模一樣我們給了α的值。哇。
但是，等等，事情並沒有在這裡結束。如果我們從點(1,0)的軸,我們給απ的值,我們會把π弧度(周長的一半),我們會一起完成了距離這個π的周長,其身份和歐拉方程的形式：
現在，如果我們把1移到另一邊，我們可以看到這個等式的另一個形狀。我將用下面的問題讓你發現為什麼這是如此的棒：在這個旋轉之後，我們將位於平面上的哪個點?
結論
歐拉恆等式是我們這個時代最美麗的公式之一。有報導稱，著名數學家高斯曾說過，如果這個公式不是一眼就能看出來的，他就永遠成不了一流的數學家。
另一方面，在1800年，另一位數學家班傑明·普萊斯，說：
這絕對是自相矛盾的，我們不能理解它，我們不知道它意味著什麼，但我們已經證明了它，因此我們知道它一定是真理。
這是一個奇妙的公式，它如何結合在一起的所有不同的元素，並為其意義。然而，本文並沒有解釋歐拉公式的所有內容。