函數單側極限的歸結原則

定理3.9：設函數f在點x0的某空心右鄰域U+(x0)有定義. lim( x→x0+ ) f(x)=A的充要條件是：對任何以x0為極限的遞減數列{xn}U+(x0)，有lim( n→∞) f(xn )=A.

證：若lim( x→x0+ ) f(x)=A，

則對ε>0，存在正數δ，當x0<x<x0+δ時，有|f(x)-A|<ε.

設遞減數列{xn}U+(x0)趨於x0，則對δ，存在N，

當n>N時，有0<xn-x0<δ，即x0<xn<x0+δ，有|f(xn)-A|<ε，

∴lim( n→∞) f(x_n )=A. 其必要性的證。

若lim( x→x0+ ) f(x)≠A，

則存在某一正數ε0，不論正數δ多小，總有x，儘管0<x-x0<δ，

而|f(x)-A|≥ε0，設U+(x0)=(x0, x0+δ)，則對δ1=δ/2, 存在x1，使0<x1-x0<δ1，

有|f(x1)-A|≥ε0，對δ2=min{δ/2^2 ，x1-x0}，存在x2，使0<x2-x0<δ2，

有|f(x2)-A|≥ε0，x2< x1，……以此類推……

取δn=min{δ/2^n ，x_(n-1)-x0}，存在xn，使0<xn-x0<δn，

有|f(xn)-A|≥ε0，xn< x_(n-1)<…< x2< x1，即{xn}滿足

1){xn}U+(x0,δn)，且x_(n+1)< xn，n=1,2,…

2)|f(xn)-A|≥ε0，n=1,2,…

∵0<xn-x0<δn≤δ/2^n →0(n→∞)，∴lim( n→∞) xn=x0，

可見{xn}U+(x0)以x0為極限且遞減，

但由2)可知lim( n→∞) f(xn )≠A與題設矛盾.

∴lim( x→x_0+ ) f(x)=A. 其充分性得證。

例：敘述函數極限lim( x→+∞) f(x)的歸結原則，並應用它證明lim( x→+∞) cos x不存在.

解：設f在某U(+∞)有定義。lim( x→+∞) f(x)存在的充要條件是：對任何包含於U(+∞)且以+∞為極限的數列{xn}，極限lim( n→+∞) f(xn )都存在且相等.

設x』n=2nπ，x」n=nπ+π/2，則x』n→+∞，x」n→+∞ (n→∞)，

而cos x』n=1，cos x」n=0 (n→∞)，

即lim( n→∞) cos x』n≠lim( n→∞) cosx"n，

∴lim( x→+∞) cos x不存在.