人工智慧數學基礎7:極限、極限運算、ε-δ語言、ε-N語言、級數和函數連續性

2021-01-19 老猿Python
一、極限的定義及四則運算

極限：某一個函數中的某一個變量，此變量在變大（或者變小）的永遠變化的過程中，逐漸向某一個確定的數值A不斷地逼近而「永遠不能夠重合到A」（「永遠不能夠等於A，但是取等於A『已經足夠取得高精度計算結果）的過程中，此變量的變化，被人為規定為「永遠靠近而不停止」、其有一個「不斷地極為靠近A點的趨勢」。極限是一種「變化狀態」的描述。此變量永遠趨近的值A叫做「極限值」

ε-δ（epsilon-delta）語言：epsilon-delta語言是用來描述函數極限的語言，其描述如下：
對於任意ε＞0，存在δ＞0，當0＜丨x-x0丨＜δ時，有丨f(x)-L丨＜ε。即x無限靠近x0時則函數f（x）的極限為L，記為：

ε-N語言：用於描述數列的極限，其描述如下：
所謂xn→x，就是指：「如果對任何ε>0，總存在自然數N，使得當n>N時，不等式|xn-x|<ε恆成立」。

極限的四則運算

無窮小的運算

極限的複合運算

等價無窮小

需要熟記的幾個函數極限
※ limC = C，C為常數
※ limCf(x) = Clim f(x)，C為常數

二、級數

級數是指將數列的項依次用加號連接起來的函數，級數理論是分析學的一個分支；它與另一個分支微積分學一起作為基礎知識和工具出現在其餘各分支中。二者共同以極限為基本工具，分別從離散與連續兩個方面，結合起來研究分析學的對象，即變量之間的依賴關係──函數；

級數是指將數列Un的項U1、U2 ，…，Un，…依次用加號連接起來的函數，是數項級數的簡稱。這些項的和簡寫為ΣUn，Un稱為級數的通項。如果當n→∞ 時 ，數列Un有極限,則說級數收斂，並以 S為其和，記為 ΣUn= S；否則就說級數發散。

級數1/n是發散的，級數n的a次方（a為大於1的整數）之一（即通項的分母是n的a次方）是收斂的 ；

在n和a為大於1的整數情況下，下來通項對應的級數的大小及收斂、發散性排列如下：

上圖紅線左邊的級數是收斂的，右邊的級數是發散的，當然紅線兩邊的級數之間還可以在兩區插入更多符合條件的級數。

三、函數的連續性3.1、定義

連續函數是指函數y=f（x）當自變量x的變化很小時，所引起的因變量y的變化也很小。對於這種現象，因變量關於自變量是連續變化的，連續函數在直角坐標系中的圖像是一條沒有斷裂的連續曲線。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。

一個函數在開區間(a,b) 內每點連續，則為在(a,b) 連續，若又在 a點右連續， b點左連續，則在閉區間[a,b]連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函數。由極限的性質可知，一個函數在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。如果x在x0處的左極限和右極限不相等，則f（x）在x0處不連續。一切連續函數在其定義區間內的點都連續。

3.2、間斷點

3.3、連續函數法則3.4、重要特性

有界性：閉區間上的連續函數在該區間上一定有界，所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M

最值性：閉區間上的連續函數在該區間上一定能取得最大值和最小值，所謂最大值是指，[a,b]上存在一個點x0，使得對任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為f(x)在[a,b]上的最大值。最小值可以同樣作定義，只需把上面的不等號反向即可。

介值性：若f(a)=A，f(b)=B，且A≠B。則對A、B之間的任意實數C，在開區間(a,b)上至少有一點c，使f( c )=C。它包含了兩種特殊情況：
（1）零點定理。
也就是當f(x)在兩端點處的函數值A、B異號時（此時有0在A和B之間），在開區間(a,b)上必存在至少一點ξ，使f(ξ)=0。
（2）閉區間上的連續函數在該區間上必定取得最大值和最小值之間的一切數值。

一致連續性：閉區間上的連續函數在該區間上一致連續。
所謂一致連續是指，對任意ε>0（無論其多麼小），總存在正數δ，當區間I上任意兩個數x1、x2滿足|x1-x2|<δ時，有|f(x1)-f(x2)|<ε，就稱f(x)在I上是一致連續的。

反函數連續性：如果函數f在其定義域D上嚴格單調且連續，那麼其反函數g也在其定義域f(D)（即f的值域）上嚴格單調且連續

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