形如 a + m·b 型結構最小值問題(阿波羅尼斯圓和胡不歸兩類問題)
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【來源】初中數學綜合題的教與學。
【編者按】本文既適合高中生，也適合初中生閱讀。故在此轉載。並向作者劉護靈老師表示感謝！
開篇：學問學問，就是邊學邊問，邊問邊學。沒有問題，或者提不出問題，或者害怕提出新問題，或者只會短時間的按照已有的模式套路解決已有的問題，而不能解決暫時無套路的新問題，正是應試教育的悲哀，也是為考而教的不足，泯滅的可能是學生個人甚至民族的創造力。
有些社會補習機構把數學解題學習異化為「記模型」「練模型」「套模型」的應試訓練，表面上可以對付平時的考試（因為平時的考試出題時沒有像出中高考題需要數位專家長達1月以上的出新題的過程），由此帶來學生的思維固化。基於此，筆者在2016年申報了一個課題《在科雅育人的理念下培養學生的數學創新思維》，在2018年結題，但是研究並未結束。本公眾號當時就為這個課題而建設。現在繼續開展這個課題的研究。
出發點：數學教學離不開解題教學。但解題教學要在解決問題中實現數學育人的功能。
「a + m·b」型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點． 當m值為1 時，即可轉化為「a + b」之和最短問題，就可用我們常見的「飲馬問題」模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理．而當 m 取任意不為1 的正數時，若再以常規的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉換思路．此類問題的處理通常以動點 P 所在圖像的不同來分類，一般分為 2 類研究． 即點 P 在直線上運動( 胡不歸) 和點 P 在圓( 阿氏圓) 上 運動． 先來看看何為「阿氏圓」． （阿波羅尼斯（約前 ２６２～約前 １９０），古希臘人，數學家．他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，阿波羅尼斯圓即來源於其中的幾何問題．）這個軌跡最先由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故稱阿氏圓令人好奇的問題1：如何在ggb或幾何畫板中，直接作出阿氏圓？那麼如何證明這個點P的軌跡是一個圓？
對於初中學生，需要用兩次角平分線定理，但學生可能理解上有一定的困難。
對於高中學生，可以建系利用解析幾何的方法來證明。
所以這個內容是放在高中才學的，但是現在部分省市有時中考也考阿氏圓（其實不應該啊）。
例1:如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連結AP、BP，求AP+1/2BP的最小值.(1)嘗試解決:為了解決這個問題，下面給出解題思路:當A、P、D三點共線時，AP+PD最小，即最小值為AD的長根號下37.反思1：在CB上取點D，使CD=1這個是怎麼想到的？本質是什麼？實際上，構造△PCD∽△BCP，把1/2BP轉化為PD是關鍵所在.(2)自主探索:在「問題提出」的條件不變的情況下，(3)拓展延伸:已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，點P是弧CD上一點，求2PA+PB的最小值——.
套路總結
（看看，本來沒有套路，研究的人多了，總結出套路來了。）
（總結出套路沒什麼不對，解析幾何的「建，設，限，代，化」不是也是套路嗎？根據皮連生教授廣義教與學的理論，學習解題步驟就是掌握一種高級規則）
阿氏圓基本解法：構造相似
結論：
1.到兩定點的距離之商為定值的點的軌跡是阿波羅尼斯圓。
2.到兩定點的距離之和為定值(比這兩點之間的距離要大)的點的軌跡是橢圓。
3.到兩定點的距離之差為定值(比這兩點之間的距離要小)的點的軌跡是雙曲線。
4.到兩定點的距離之積為定值的點的軌跡是卡西尼卵形線。
筆者曾經以2017年廣州中考第24題的變式研究，探討過胡不歸的問題，論文得到了海珠教師論文比賽一等獎。
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【注】以下連結來源於公眾號《初中數學綜合題的教與學》
相關焦點
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中考數學-阿波羅尼斯圓
或者我們可以設置問題：BP長度的最小（大）值是多少？回到問題條件：PD=2AP，線段PD與AP的比值為定值，發散思維我們可以想到相似，於是常見的一種相似模型浮出：「母子（共邊）相似」或「A』」型相似。上面的問題迎刃而解！BM=2√10，故BP最小為2√10-4，最大為2√10+4. -
初中數學:解一道「阿波羅尼斯圓」最值問題
在初中數學中，有一類幾何動點最值問題，學生普遍感到「害怕」。它就是「阿波羅尼斯圓」問題：平面上有A，B兩點，則所有滿足PA/PB=k且不等於1的點P的軌跡是一個以定比m：n內分和外分定線段AB的兩個分點的連線為直徑的圓，這個軌跡最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發現，故也稱阿氏圓。 -
中考數學幾何最值問題囊括:含將軍飲馬、胡不歸、阿波羅尼斯圓等
對於從結論很難分析出思路的題目，可以結合結論和已知條件認真的分析。在考試中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。 -
中考熱點|「PA+k·PB」型的最值問題
【問題背景】「PA+k·PB」型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當 k 值為 1 時，即可轉化為「PA+PB」之和最短問題，就可用我們常見的「飲馬問題」模型來處理，即可以轉化為軸對稱問題來處理。 -
陽老師|阿波羅尼斯圓(概念篇、基礎篇、提高篇)
（概念篇）軌跡問題是高考中的一個熱點和重點，在歷年高考中出現的頻率較高，特別是當今高考的改革以考查學生創新意識為突破口，注重考查學生的邏輯思維能力，運算能力，分析問題和解決問題的能力，而軌跡方程這一熱點，常涉及函數、三角、向量、幾何等知識，能很好地反映學生在這些能力方面的掌握程度。 -
關於對稱型不等式證明問題和一類求最值問題的錯誤展示
今天的內容屬於緊急潑冷水型內容推送，內容有兩點，一是對上期不等式證明類問題的總結，二是對一類對稱型不等式求最值錯誤用法的展示。上期考前不等式選講專項訓練中有同學留言說不等式證明類問題很難把握，不如選擇極坐標與參數方程，事實也確實如此，相比於證明類的不等式來說，極參要簡單很多，在不等式證明題目中很多題目具有對稱性，甚至很多求最值的不等式問題也具有對稱性，關於對稱性可分為以下兩類，第一種是對稱不等式，第二種是輪換對稱不等式。 -
初中數學 | 「胡不歸」
近幾年各省市中考均有考察最值問題，其中胡不歸就是其中一個重要的類型。胡不歸問題，是一個非常古老的數學問題，曾經是歷史上非常著名的「難題」。近年來陸續成為各地中考模擬題的小熱門考點，學生不易把握，今天給大家普及講解一下。 -
二次函數與「胡不歸問題」,掌握解題思路,就算壓軸也會so easy
例：（2019綿陽）將二次函數y=ax*2(a>0)的圖像向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到如圖所示的拋物線，該拋物線與x軸交於點A、B（A在B的左邊），OA=1，經過點A的一次函數y=kx+b的圖像與y軸正半軸交於點C，且與拋物線的另一個交點為點D，連接BD，△ABD的面積為5. -
中考重難點,最短路徑問題之風靡千年的「胡不歸模型」,你會麼?
小夥子估計也知道兩點之間線段最短的這個常識。選擇了直接從砂石地帶直線回家。可惜他忽略了速度問題。導致到家之後，沒能見著父親最後一面。聽到旁人告訴他，父親在彌留之際，不斷念叨：「胡不歸，胡不歸？」真是個悲傷而又無奈的故事。 -
胡不歸問題系列講座1
上期查詢胡不歸問題的特徵胡不歸問題的特點是求一條線段與另一條線段的幾分之幾或者幾倍的和的最小值 -
江蘇省南通中考數學壓軸題,胡不歸與閱讀理解型問題,你覺得難不
選擇題最後一題是一道數形結合型題目，是最近幾年熱點考題。【分析】本題的關鍵在於找到x，題目中是設CD+DE=x，通過全等可以證明B`D=CD，因此x的長度可以轉化為B`E的長度，這樣難度就小了，△AEC`的面積利用面積公式求解，發現y是關於x的一次函數，選B。 -
初中數學:一道幾何好題,學會「胡不歸問題」動點最值處理方法
胡不歸問題，是一個非常古老的數學問題，曾經是歷史上非常著名的「難題」。近年來陸續成為各地中考模擬題的小熱門考點，學生不易把握，今天給大家普及講解一下。 -
加權線段和之阿氏圓模型
本題的關鍵將1/2FC進行轉化為FG，利用三點共線求出最值，但是問題來了，為什麼這樣做輔助線？又是如何想到在線段BE取中點呢?問題得從阿波羅尼斯圓（阿氏圓）說起，拖動M點時，發現點F的運動軌跡是圓，這個圓就叫做阿氏圓。 -
初中數學|經典幾何問題:「胡不歸」模型
人們告訴他，在彌留之謎，老人在不停念叨「胡不歸？胡不歸？" 這個問題引起了人們的思索，小夥子能否節省路上時間提前到家？如果可以，他應該選擇一條怎樣的路線呢？這就是流傳千百年的「胡不歸問題」。但是他忽視了沙地上行走速度慢的問題，即使AB的路程更短，但比走A-D-B路徑所花的時間更長。怎麼辦呢？ -
2020年浙江省寧波中考數學,壓軸題為閱讀理解型問題,有難度
我們在前面的文章中分析過寧波近三年中考解答壓軸題，2017年解答壓軸題，考查的是閱讀理解型問題，主要涉及到的知識點有：圓、四邊形、三角形的面積比等等；2018年解答壓軸題，是幾何與代數綜合題，主要考察的知識點有：一次函數、圓、銳角三角函數、相似三角形、最值問題等；2019年解答壓軸題 -
攻略|「 陌上花開,胡不歸?」
小夥子遵循「兩點之間線段最短」的原則一路往家趕，卻沒想這個路線上沙石阻礙很多，非常不好走。而如果繞個彎到平坦的大道上，雖然看上去路程變長了，但速度卻大大提升，也能早一些趕到家裡「胡不歸」問題便是從這個故事中抽象出來的一個模型。 -
初中數學重點梳理:幾何的定值問題
知識梳理1、幾何定值問題的分類定值問題大致分為兩類：一類是定量問題（如定長度、定角、定弧、定比……）；一類是定形問題（如定點、定線、定圓或弧、定方向…）解決這類問題要通過題目中元素動靜結合，特殊與一般結合，數形結合的特點去分析，把定值找出來，再有的放矢地進行論證。 -
由動點軌跡引發的面積/體積最值問題
上期內容主要是由動點引起的距離長度型最值問題，今天選取四道與動點引起的體積或面積問題。在立體幾何中最常見的動點軌跡為線段，曲線較少，若是曲線，常見的類型為拋物線或圓弧，本次題目重點注意一下第四題。四稜錐P-ABED的底面積確定，高最大時體積最大，題目中△DPA和△EPB均為直角三角形，根據正切值的關係即可得到AP和BP的長度比值，這樣就可以確定出點P的軌跡，若一個動點到兩個定點之間的距離比值為定值，則動點的軌跡為圓，這是阿波羅尼斯圓中的相關知識，有興趣可以參考連結：阿波羅尼斯圓的淺淺淺淺用法分析，但本題目沒必要確定出動點的軌跡 -
2020年中考數學專題訓練—反比例函數計算型問題,看懂K值很重要
一、方法技巧提煉反比例函數的計算型問題不僅考察反比例函數的性質，還與幾何圖形相結合，是數形結合思想的重要體現，也是歷年中考的熱門考點。近年重慶中考中，反比例函數計算型問題主要是以選擇題的形式出現，難度中等及偏上。