九章算術(一)---開篇

寫在前面的話：

想寫一個介紹中國古代數學史的系列好久了，因為對於學生學數學來說，如果能知道所學的這個定義或者這個公式甚至這個方法的來歷，對於理解所學的內容有很大的幫助。籌劃了很久，決定先從《九章算術》開始。《九章算術》是《算書十經》中最重要的一本，裡面涉及的很多問題都是小學生現在課本內或者奧數課上正在學習的。

《九章算術》的成書在數學史界還有些爭論。本文不做太深的數學史的探討，所以直接採用當今大家都比較認可的魏晉時期的數學家劉徽的敘述，《九章算術》是西漢初年張倉，耿壽昌在先秦遺蹟的基礎上刪補而成。劉徽在《九章算術》的基礎上加了註解，註解主要完善了體系，證明以及方法的推理，所以本文的大部分材料來自於是劉徽的《九章算術注》。

本人非專業數學史研究人員，儘可能的查閱了手頭能找到的資料，難免還是有所疏漏，希望大家看到隨時指出。歡迎討論。

在討論九章算術前，有必要先普及下古代的數學是怎麼發展起來的，跟古埃及一樣，中國古代數學的發展最大的推動力是政府的稅收。稅收需要丈量土地，而土地又有各種不同的形狀，所以就逐步有了周長和面積。稅收需要分攤給每個地方，所以逐步有了比例和分數。不過跟西方的發展有所不同的是，古代的中國數學更注重應用，而不注重思辨。所以美國數學家克萊因在《古今數學思想》中認為「對數學思想的主流沒有重大影響」。包括國內有些數學家也認為嚴格來說中國古代的數學不能稱之為數學，應該稱之為算術。關於這些爭論本文不做展開討論。引用數學家吳文俊老先生在《數學的公理化與機械化思想》中的一句話，「在歷史長河中，數學機械化算法體系與數學公理化演繹體系曾多次反覆，互為消長，交替成為數學發展中的主力」，各位仁者見仁，智者見智吧。

本人對兩漢歷史有一定的了解，所以在歷史背景下給大家介紹下張蒼，大家能夠對九章算術的體系理解起來更加容易。

張蒼（公元前256年—公元前152年），師從戰國時期思想家荀子，荀子的知行觀主張「學至於行之而止」註：學到並且能運用到生活中去就達到最高境界了，所以《九章算術》中的例題都是實際生活中遇到的問題。張蒼在西漢擔任計相（主管財政），漢文帝時期出任丞相，所以《九章算術》的編排體系以及裡面的題目內容大多跟國計民生相關。

 

先聊聊書名：

為啥叫九章，而不是八章或十章

《周禮》有云：養國子以道，乃教之六藝：一曰五禮．二曰六樂，三曰五射，四曰五御(馭)，五曰六書，六曰九數。

註：禮：禮節（即今德育）
　　樂：音樂
　　射：射箭技術
　　御：駕馭馬車的技術
　　書：書法（書寫，識字，文字）
　　數：算法（計數）

君子六藝定義了一個教育體系，類似於我們現在的德智體美勞全面發展。教學大綱中規定了數學需要學習的部分共九個知識板塊，稱為九數。

九章算術的九章等同於周禮中的九數，九章分別敘述了九個知識板塊，分別為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

 

為什麼叫算術，不叫數學

算術二字，在書中重點體現在「術」上。術，指方法，用現代文來說，算術的意思就是計算不同問題的方法。書中的編排大多是一術多題或者一題多術，也就是給出一種方法，相應的給出一道或幾道例題，或者給出一類應用題集，然後討論這類題集的解法。不管是一術多題還是一題多術，在張蒼刪補版的《九章算術》中，並沒有對題目的方法進行原理分析或者嚴格性證明，全書重點強調的是解決問題的方法。

《九章算術》編排的指導思想來自於荀子的思想。

荀子的主張偏現代哲學體系中的唯物主義，哲學觀上主張「制天命而用之」。具體到《九章算術》書中，展開的基礎是「術」以及「術」的應用，而書中用到的術，解決問題中出現的定義，公式都沒有嚴格的證明和推理。這點跟我們看歐幾裡得的《幾何原本》有所不同，《幾何原本》在開篇就給出了整個歐氏幾何體系存在的基礎假定以及公理體系。孰優孰劣我們這裡不做討論。

從中小學教學的角度來看，小學階段的教學和學習應該以應用為主，因為學生還沒有建立起邏輯體系，學生的邏輯思維能力也不足支撐邏輯體系的建立。中學生階段可以開始強調定義的邊界，強調「術」的使用範圍，逐步建立起完善的邏輯體系。

九章都研究那些內容：

九章具體指方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股。

方田：求田地的面積，又因為面積的計算過程帶出來關於分數的約分，通分，以及計算法則。

粟米：交易中的比例，在規定一個基準交換比例的情況下，計算實際需要的錢或者物。

衰分：按比分配的算法，根據所給的各部分之間的比例來分配整體；

少廣：已知面積和體積求長度以及這個計算過程中碰到的開方運算；

商功：工程量，工作時間的計算，也就是我們現在所學的工程問題；

均輸：按照不同地方的實際情況來考慮賦稅的分擔，其中涉及了行程問題；

盈不足：盈虧問題，本章詳細的討論了基本盈虧問題以及複雜的盈虧問題；

方程：列方程和方程組解應用題，以及解方程和方程組的辦法；

勾股：勾股定理以及勾股定理在生活中的應用，包括丈量土地，計算山高等。

能看到每章的研究都是跟當時的國計民生息息相關。農耕社會立足的根本就是土地。所以土地的丈量是最重要的部分，另外還需要根據土地來確定稅收，稅收收的東西需要運輸到中央。另外政府還需要徵徭役，稅收等等等等，能發現，這些都跟我們數學是息息相關的。從數學類型上看，政府要知道這塊地有多大好確定收多少稅，所以已知土地求面積；要給人民分土地，所以要已知面積求邊長；土地形狀有所不同，丈量方式有所不同，所以需要勾股定理；不同的稅收物品需要換算，所以需要比例；徭役的工程需要分配，所以需要按比分配以及分數應用題；……

編排邏輯：

按照九章算術編排的順序，每一卷內部的內容會按照貼近當今教學規律的順序重新組織，比如說第一卷方田，方田裡涉及的數學知識點比較大的有各種平面圖形的面積求法，有分數運算的法則，比較小的有最大公因數的求法，關於π的計算等等。在牛老師的敘述裡會重新進行組織。

劉徽在《九章算術注》中對原著中的很多方法做了一些推理和證明，接下來我們會一併呈現給大家。

 

下篇預告：方田（一）-古代如何求面積；

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