《九章算術》是中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的一部數學專著。是《算經十書》中最重要的一部,成於公元一世紀左右。其作者已不可考。一般認為它是經歷代各家的增補修訂,而逐漸成為現今定本的,西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理,其時大體已成定本。最後成書最遲在東漢前期,現今流傳的大多是在三國時期魏元帝景元四年(263年),劉徽為《九章》所作的注本。
《九章算術》內容十分豐富,全書總結了戰國、秦、漢時期的數學成就。同時,《九章算術》在數學上還有其獨到的成就,不僅最早提到分數問題,也首先記錄了盈不足等問題,《方程》章還在世界數學史上首次闡述了負數及其加減運算法則。它是一本綜合性的歷史著作,是當時世界上最簡練有效的應用數學,它的出現標誌中國古代數學形成了完整的體系。
2020年4月,列入《教育部基礎教育課程教材發展中心 中小學生閱讀指導目錄(2020年版)》初中段。
《九章算術》是中國古代的數學專著,是"算經十書"(漢唐之間出現的十部古算書)中最重要的一種。魏晉時劉徽為《九章算術》作注時說:"周公制禮而有九數,九數之流則《九章》是矣",又說"漢北平侯張蒼、大司農中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,各稱刪補,故校其目則與古或異,而所論多近語也"。根據研究,西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補。最後成書最遲在東漢前期,但是其基本內容在西漢後期已經基本定型。
《九章算術》的內容十分豐富,全書採用問題集的形式,收有246個與生產、生活實踐有聯繫的應用問題,其中每道題有問(題目)、答(答案)、術(解題的步驟,但沒有證明),有的是一題一術,有的是多題一術或一題多術。這些問題依照性質和解法分別隸屬於方田、粟米、衰(音cui)分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程及勾股。共九章如下所示。原作有插圖,今本已只剩下正文了。
《九章算術》共收有246個數學問題,分為九章。它們的主要內容分別是:
第一章"方田": 主要講述了平面幾何圖形面積的計算方法。包括長方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環這八種圖形面積的計算方法。另外還系統地講述了分數的四則運算法則,以及求分子分母最大公約數等方法。
今有田廣十五步,從十六步.問為田幾何.」「答曰:一畝」.這裡「廣」就是寬,「從」(音縱zong)即縱,指其長度.
15*16=240平方步=1畝
《孫子算經》裡有記載:長度單位:1丈=10尺,1尺=10寸,1步=6尺,1裡=300步=1800尺,240平方步為一畝,當時1尺= 23.1 cm.
第二章"粟米":穀物糧食的按比例折換;提出比例算法,稱為今有術;衰分章提出比例分配法則,稱為衰(cui 一聲) 分術;
粟米 50, 糲米 30, 粺米27, 鑿米 24,御米 21, 小麥 13 ½, 大 麥 54, 糲飯 75,粺飯 54, 鑿飯 48, 御 飯 42, 菽、合、麻、麥 45, 稻 60, 豉63, 饗 90, 熟菽103½, 櫱[niè] 175。
例 今有粟一鬥,欲為糲米。問得幾何。
答曰:為糲米六升。
術曰:以粟求糲米,三之,五而一。
各種比例運算
1.正比例:《九章算術》粟米第4問
「今有粟七鬥九升,欲為御米。問得幾何。
答曰:為御米三鬥三升五十分升之九。
術曰:以粟求御米,二十一之,五十而一。」
7.9 :x = 50 :21
2.反比例:《張丘建算經》卷上第31問
「今有七百人造浮橋,九日成。進增五百人,問日幾何。
答曰:五日四分日之一。
術曰:置本人數,以日數乘之,為實;以本人數,今增人數為法,實如法而一。」
700 :700+500 = x :9
3.複比例:《九章算術》衰分第20問
「今有貸人千錢,月息三十。今有貸人七百五十錢,九日歸之。問息幾何。
答曰:六錢四分錢之三。
術曰:以三十日乘千錢為法,以息三十乘今所貸錢數,又以九日乘之,為實,實如法得一錢。」
1000 :750 = 30 :y ,
30 :9 = y:x ,
4.配分比例:《九章算術》衰分第2問
「今有牛、馬、羊食人苗。苗主責之粟五鬥。羊主曰:我羊食半馬。馬主曰:我馬食半牛。今欲衰償之,問各出幾何。
答曰:牛主出二鬥八升七分升之四,馬主出一鬥四升七分升之二,羊主出七升七分升之一。
術曰:置牛四、馬二、羊一,各自為列衰,副並為法。以五鬥乘未並者,各自為實 。實如法而一。」
N :M:Y = 4 :2 :1 4 + 2 + 1 = 7
5.連比例:《九章算術》均輸第10問
「今有絡絲一斤為練絲一十二兩,練絲一斤為青絲一斤十二銖。今有青絲一斤,問本絡絲幾何。
答曰:一斤四兩一十六銖三十三分銖之一十六。
術曰:以練絲十二兩乘青絲一斤一十二銖為法。以青絲一斤銖數乘練絲一斤兩數,又以絡絲一斤乘之,為實。實如法得一斤。」
1 斤 = 16 兩, 1 兩 = 24 銖。
絡 :練 = 1 斤 :12 兩 = 16 :12 ,
練 :青 = 1 斤 :1 斤 12 銖 = 16´24 :16´24+12 ,
第三章"衰分術":比例分配問題。
《九章算術》第三章「衰分」介紹比例分配問題:「衰分」是按比例遞減分配的意思,通常稱遞減的比例(即百分比)為「衰分比」.如:甲、乙、丙、丁分別分得100、60、36、21、6,遞減的比例為,那 麼「衰分比」就等於,今共有糧石,按甲、乙、丙、丁的順序進行「衰分」,已知丙分得石,乙、丁所得之和為石,則「衰分比」與的值分別是( )
A. B. C. D.
第四章"少廣":已知面積、體積,反求其一邊長和徑長等;介紹了開平方、開立方的方法。
我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題:「遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?」意思是:「一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍,則塔的頂層共有燈多少?」現有類似問題:一座5層塔共掛了242盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的3倍,則塔的底層共有燈( )
A. 81盞 B. 112盞 C. 114盞 D. 162盞
由題可知,燈數自上而下成公比為3的等比數列,即數列 ,由 ,得 .
所以 .
故答案為:D.
【分析】設塔的底層共有a1盞燈,則數列{an}公比為3的等比數列,利用等比數列前n項和公式能求出結果.
第五章"商功":土石工程、體積計算;除給出了各種立體體積公式外,還有工程分配方法;
第六章"均輸":合理攤派賦稅;用衰分術解決賦役的合理負擔問題。今有術、衰分術及其應用方法,構成了包括今天正、反比例、比例分配、複比例、連鎖比例在內的整套比例理論。西方直到15世紀末以後才形成類似的全套方法。
第七章"盈不足":即雙設法問題;提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問題,以及若干可以通過兩次假設化為盈不足問題的一般問題的解法。這也是處於世界領先地位的成果,傳到西方後,影響極大。
第八章"方程":一次方程組問題;採用分離係數的方法表示線性方程組,相當於現在的矩陣;解線性方程組時使用的直除法,與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方,直到17世紀才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進和使用了負數,並提出了正負術--正負數的加減法則,與現今代數中法則完全相同;解線性方程組時實際還施行了正負數的乘除法。這是世界數學史上一項重大的成就,第一次突破了正數的範圍,擴展了數系。外國則到7世紀印度的婆羅摩及多才認識負數。
第九章"勾股":利用勾股定理求解的各種問題。其中的絕大多數內容是與當時的社會生活密切相關的。提出了勾股數問題的通解公式:若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦,則,m>n。在西方,畢達哥拉斯、歐幾裡得等僅得到了這個公式的幾種特殊情況,直到3世紀的丟番圖才取得相近的結果,這已比《九章算術》晚約3個世紀了。勾股章還有些內容,在西方卻還是近代的事。例如勾股章最後一題給出的一組公式,在國外到19世紀末才由美國的數論學家迪克森得出。
《九章算術》確定了中國古代數學的框架,以計算為中心的特點,密切聯繫實際,以解決人們生產、生活中的數學問題為目的的風格。其影響之深,以致以後中國數學著作大體採取兩種形式:或為之作注,或仿其體例著書;甚至西算傳入中國之後,人們著書立說時還常常把包括西算在內的數學知識納入九章的框架。然而,《九章算術》亦有其不容忽視的缺點:沒有任何數學概念的定義,也沒有給出任何推導和證明。魏景元四年(263年),劉徽給《九章算術》作注,才大大彌補了這個缺陷。
劉徽是中國數學家之一。他的生平知之甚少。據考證,他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數學概念,全面論證了《九章算術》的公式解法,提出了許多重要的思想、方法和命題,他在數學理論方面成績斐然。
劉徽對數學概念的定義抽象而嚴謹。他揭示了概念的本質,基本符合現代邏輯學和數學對概念定義的要求。而且他使用概念時亦保持了其同一性。如他提出凡數相與者謂之率,把率定義為數量的相互關係。又如他把正負數定義為今兩算得失相反,要令正負以名之,擺脫了正為餘,負為欠的原始觀念,從本質上揭示了正負數得失相反的相對關係。
《九章算術》的算法儘管抽象,但相互關係不明顯,顯得零亂。劉徽大大發展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理,把它們看作運算的綱紀。許多問題,只要找出其中的各種率關係,通過乘以散之,約以聚之,齊同以通之,都可以歸結為今有術求解。
一平面(或立體)圖形經過平移或旋轉,其面積(或體積)不變。把一個平面(或立體)圖形分解成若干部分,各部分面積(或體積)之和與原圖形面積(或體積)相等。基於這兩條不言自明的前提的出入相補原理,是中國古代數學進行幾何推演和證明時最常用的原理。劉徽發展了出入相補原理,成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問題的勾股、開方的公式和算法的正確性。
《九章算術》中的數學成就是多方面的:
(1)、在算術方面的主要成就有分數運算、比例問題和"盈不足"算法。《九章算術》是世界上最早系統敘述了分數運算的著作,在第二、三、六章中有許多比例問題,在世界上也是比較早的。"盈不足"的算法需要給出兩次假設,是一項創造,中世紀歐洲稱它為"雙設法",有人認為它是由中國經中世紀阿拉伯國家傳去的。
《九章算術》中有比較完整的分數計算方法,包括四則運算,通分、約分、化帶分數為假分數(我國古代稱為通分內子,"內"讀為納)等等。其步驟與方法大體與現代的雷同。
分數加減運算,《九章算術》已明確提出先通分,使兩分數的分母相同,然後進行加減。加法的步驟是"母互乘子,並以為實,母相乘為法,實如法而一"這裡"實"是分子。"法"是分母,"實如法而一"也就是用法去除實,進行除法運算,《九章算術》還注意到兩點:其一是運算結果如出現"不滿法者,以法命之"。就是分子小於分母時便以分數形式保留。其二是"其母同者,直相從之",就是分母相同的分數進行加減,運算時不必通分,使分子直接加減即可。
《九章算術》中還有求最大公約數和約分的方法。求最大公約數的方法稱為"更相減損"法,其具體步驟是"可半者半之,不可半者,副置分母子之數,以少減多,更相減損,求其等也。以等數約之。"這裡所說的"等數"就是我們現在的最大公約數。可半者是指分子分母都是偶數,可以折半的先把它們折半,即可先約去2。不都是偶數了,則另外擺(即副置)分子分母算籌進行計算,從大數中減去小數,輾轉相減,減到餘數和減數相等,即得等數。
在《九章算術》的第二、三、六等章內,廣泛地使用了各種比例解應用問題。粟米章的開始就列舉了各種糧食間互換的比率如下:"粟米之法:粟率五十,糲米三十,粺米二十七,糳米二十四,……"這是說:穀子五鬥去皮可得糙米三鬥,又可舂得九折米二鬥七升,或八拆米二鬥四升,……。例如,粟米章第一題:"今有粟米一鬥,欲為糲米,問得幾何"。它的解法是:"以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一"。
《九章算術》第七章"盈不足"專講盈虧問題及其解法其中第一題:"今有(人)共買物,(每)人出八(錢),盈(餘)三錢;人出七(錢),不足四(錢),問人數、物價各幾何","答曰:七人,物價53(錢)。""盈不足術曰:置所出率,盈、不足各居其下。令維乘(即交錯相乘)所出率,並以為實,並盈,不足為法,實如法而一……置所出率,以少減多,餘,以約法、實。實為物價,法為人數"。盈不足術是中國數學史上解應用問題的一種別開生面的創造,它在我國古代算法中佔有相當重要的地位。盈不足術還經過絲綢之路西傳中亞阿拉伯國家,受到特別重視,被稱為"契丹算法",後來又傳入歐洲,中世紀時期"雙設法"曾長期統治了他們的數學王國。
(2)、《九章算術》總結了生產、生活實踐中大量的幾何知識,在方田、商功和勾股章中提出了很多面積、體積的計算公式和勾股定理的應用。
《九章算術》方田章主要論述平面圖形直線形和圓的面積計算方法。《九章算術》方田章第一題"今有田廣十五步,從(音縱zong)十六步。問為田幾何。""答曰:一畝"。這裡"廣"就是寬,"從"即縱,指其長度,"方田術曰:廣從步數相乘得積步,(得積步就是得到乘積的平方步數)以畝法二百四十步(實質應為積步)除之,即畝數。百畝為一頃。"當時稱長方形為方田或直田。稱三角形為圭田,面積公式為"術曰:半廣以乘正從"。這裡廣是指三角形的底邊,正從是指底邊上的高,劉徽在注文中對這一計算公式實質上作了證明:"半廣者,以盈補虛,為直田也。""亦可以半正從以乘廣"(圖1-30)。盈是多餘,虛乃不足。"以盈補虛"就是以多餘部分填補不足的部分,這就是我國古代數學推導平面圖形面積公式所用的傳統的"出入相補"的方法,由上圖"以盈補虛"變圭田為與之等積的直田,於是得到了圭田的面積計算公式。
方田章第二十七、二十八題把直角梯形稱為"邪田"(即斜田)它的面積公式是:"術曰:並兩邪(即兩斜,應理解為梯形兩底)而半之,以乘正從……,又可半正從……以乘並。"劉徽在注中說明他的證法仍是"出入相補"法。在方田章第二十九、三十題把一般梯形稱為"箕田",上、下底分別稱為"舌"、"踵",面積公式是:"術曰:並踵舌而半之,以乘正從"。
至於圓面積,在《九章算術》方田章第三十一、三十二題中,它的面積計算公式為:"半周半徑相乘得積步"。這裡"周"是圓周長,"徑"是指直徑。這個圓面積計算公式是正確的。只是當時取徑一周三(即π≈3)。於是由此計算所得的圓面積就不夠精密。
《九章算術》商功章收集的都是一些有關體積計算的問題。但是商功章並沒有論述長方體或正方體的體積算法。看來《九章算術》是在長方體或正方體體積計算公式:V=abc的基礎上來計算其他立體圖形體積的。
《九章算術》商功章提到城、垣、堤、溝、塹、渠,因其功用不同因而名稱各異,其實質都是正截面為等腰梯形的直稜柱,他們的體積計算方法:"術曰:並上、下廣而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺"。這裡上、下廣指橫截面的上、下底(a,b)高或深(h),袤是指城垣……的長(l)。因此城、垣…的體積計算術公式V=1/2(a+b)h.
劉徽在注釋中把對於平面圖形的出入相補原理推廣應用到空間圖形,成為"損廣補狹"以證明幾何體體積公式。
劉徽還用棋驗法來推導比較複雜的幾何體體積計算公式。所謂棋驗法,"棋"是指某些幾何體模型即用幾何體模型驗證的方法,例如長方體本身就是"棋"[圖1-32(1)]斜解一個長方體,得兩個兩底面為直角三角形的直三稜柱,我國古代稱為"塹堵",所以塹堵的體積是長方體體積的二分之一。
《九章算術》商功章還有圓錐、圓臺(古代稱"圓亭")的體積計算公式。甚至對三個側面是等腰梯形,其他兩面為勾股形的五面體[圖1-33(1)],上、下底為矩形的擬
柱體(古代稱"芻童")以及上底為一線段,下底為一矩形的擬柱體(古代稱"芻甍")("甍"音"夢")等都可以計算其體積。
(3)、《九章算術》中的代數內容同樣很豐富,具有當時世界的先進水平。
1.開平方和開立方
《九章算術》中講了開平方、開立方的方法,而且計算步驟基本一樣。所不同的是古代用籌算進行演算,現以少廣章第12題為例,說明古代開平方演算的步驟,"今有積五萬五千二百二十五步。問為方幾何"。"答曰:二百三十五步"。這裡所說的步是我國古代的長度單位。
"開方(是指開平方,由正方形面積求其一邊之長。)術曰:置積為實(即指籌算中把被開方數放置於第二行,稱為實)借一算(指借用一算籌放置於最後一行,如圖1-25(1)所示用以定位)。步之(指所借的算籌一步一步移動)超一等(指所借的算籌由個位越過十位移至百位或由百位越過千位移至萬位等等,這與現代筆算開平方中分節相當如圖1-25(2)所示)。議所得(指議得初商,由於實的萬位數字是5,而且22<5<32,議得初商為2,而借算在萬位,因此應在第一行置初商2於百位,如圖1-25(3)所示)。以一乘所借一算為法(指以初商2乘所借算一次為20000,置於"實"下為"法",如圖1-25(4)所示)而以除(指以初商2乘"法"20000得40000,由"實"減去得:55225-40000=15225,如圖1-25(5)所示)除已,倍法為定法,其復除,折法而下(指將"法"加倍,向右移一位,得4000為"定法"因為要求平方根的十位數字,需要把"借算"移至百位,如圖1-25(6)所示)。復置借算步之如初,以複議一乘之,所得副,以加定法,以除(這一段是指:要求平方根的十位數字,需置借算於百位。因"實"的千位數字為15,且4×3<15<4×4,於是再議得次商為3。置3於商的十位。以次商3乘借算得3×100=300,與定法相加為4000+300=4300。再乘以次商,則得:3×4300=12900,由"實"減去得:15225-12900=2325。如圖1-25(7)所示,以所得副從定法,復除折下如前(這一段是指演算如前,即再以300×1+4300=4600向右移一位,得460,是第三位方根的定法,再把借算移到個位,如圖1-25(8)所示;又議得三商應為5,再置5於商的個位如圖1-25(9)所示,以5+460=465,再乘以三商5,得465×5=2325經計算恰盡如圖1-25(10)所示,因此得平方根為235。)
上述由圖1-25(1)-(10)是按算籌進行演算的,看起來似乎很繁瑣,實際上步驟十分清楚,易於操作。它的開平方原理與現代開平方原理相同。其中"借算"的右移、左移在現代的觀點下可以理解為一次變換和代換。《九章算術》時代並沒有理解到變換和代換,但是這對以後宋、元時期高次方程的解法是有深遠影響的。
《九章算術》方程章中的"方程"是專指多元一次方程組而言,與"方程"的含義並不相同。《九章算術》中多元一次方程組的解法,是將它們的係數和常數項用算籌擺成"方陣"(所以稱之謂"方程")。消元的過程相當於現代大學課程高等代數中的線性變換。
由於《九章算術》在用直除法解一次方程組過程中,不可避免地要出現正負數的問題,於是在方程章第三題中明確提出了正負術。劉徽在該術的注文裡實質上給出了正、負數的定義:"兩算得失相反,要令'正'、'負'以名之"。並在計算工具即算籌上加以區別"正算赤,負算黑,否則以邪正為異"。這就是規定正數用紅色算籌,負數用黑色算籌。如果只有同色算籌的話,則遇到正數將籌正放,負數時邪(同斜)放。宋代以後出現筆算也相應地用紅、黑色數碼字以區別正、負數,或在個位數上記斜劃以表示負數,如(即-1824),後來這種包括負數寫法在內的中國數碼字還傳到日本。
關於正、負數的加減運算法則,"正負術曰:同名相益,異名相除,正無入負之,負無入正之。其異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之"。這裡所說的"同名"、"異名"分別相當於所說的同號、異號。"相益"、"相除"是指二數相加、相減。術文前四句是減法運算法則:
(1)如果被減數絕對值大於減數絕對值,即a>b≥0,
則同名相益:(±a)-(±b)=±(a-b),
異名相除:(±a)-(b)=±(a+b)。
(2)如果被減數絕對值小於減數絕對值,即b>a≥0。
①如果兩數皆正
則a-b=a-[a+(b-a)]=-(b-a)。
中間一式的a和a對消,而(b-a)無可對消,則改"正"為"負",即"正無入負之"。"無入"就是無對,也就是無可對消(或不夠減或對方為零)。
②如果兩數皆負
則(-a)-(-b)=-a-[(-a)-(b-a)]=+(b-a)。在中間的式子裡(-a)和(-a)對消,而-(b-a)無可對消,則改"負"為"正"所以說"負無入正之"。
③如果兩數一正一負。則仍同(1)的異名相益。
術文的後四句是指正負數加法運算法則。
(1)同號兩數相加,即同名相益,其和的絕對值等於兩數絕對值和。
如果a>0,b>0,
則a+b=a+b,(-a)+(-b)=-(a+b)
(2)異號兩數相加,實為相減,即異名相除。如果正數的絕對值較大,其和為正,即"正無入正之"。如果負數的絕對值較大,其和為負,即"負無入負之"。用符號表示為
①如果a>b≥0,
則 a+(-b)=[b+(a-b)]+(-b)=a-b,
或 (-a)+b=[(-b)-(a-b)]+b=-(a-b)。
②如果b>a≥0,
則 a+(-b)=a+[(-a)-(b-a)]=-(b-a),
或 (-a)+b=(-a)+[a+(b-a)]=b-a。
關於正負數的乘除法則,在《九章算術》時代或許會遇到有關正負數的乘除運算。可惜書中並未論及,直到元代朱世傑於《算學啟蒙》(1299年)中才有明確的記載:"同名相乘為正,異名相乘為負","同名相除所得為正,異名相除所得為負",因此至遲於13世紀末我國對有理數四則運算法則已經全面作了總結。至於正負數概念的引入,正負數加減運算法則的形成的歷史記錄,我國更是遙遙領先。國外首先承認負數的是七世紀印度數學家婆羅門岌多(約598-?)歐洲到16世紀才承認負數。
結語:
《九章算術》是由國家組織力量編纂的一部官方性數學教科書,集先秦至西漢數學知識之大成,是我國古代最重要的數學經典,對兩漢時期以及後來數學的發展產生了很大的影響。
《九章算術》成書後,注家蜂起。《漢書•藝文志》所載《許商算術》、《杜忠算術》就是研究《九章算術》的作品。東漢時期馬續、張衡、劉洪、鄭玄、徐嶽、王粲等通曉《九章算術》,也為之作注。
這些著作的問世,推動了稍後的數學理論體系的建立。《九章算術》的出現,奠定了我國古代數學的基礎,它的框架、形式、風格和特點深刻影響了我國和東方的數學。