十一年磨一劍:中科大數學教授成功證明微分幾何學兩大猜想

2020-12-27 澎湃新聞

機器之心報導

機器之心編輯部

11 月 8 日，新華社報導稱，中國科學技術大學教授陳秀雄、王兵在微分幾何學領域取得重大突破，成功證明了「哈密爾頓 - 田」和「偏零階估計」這兩個國際數學界 20 多年懸而未決的核心猜想。論文從寫作到發表歷時 11 年。

微分幾何學是數學的一個分支學科，它主要是以分析方法來研究空間（微分流形）的幾何性質。應用微分學來研究三維歐幾裡得空間中的曲線、曲面等圖形性質的數學分支，差不多與微積分學同時起源於 17 世紀。

微分幾何學的研究對數學其他分支以及力學、物理學、工程學等的影響是不可估量的，歐拉、蒙日、拉格朗日以及柯西等數學家都曾為微分幾何學的發展作出過重要貢獻。

在微分幾何學領域，陳秀雄和王兵團隊的研究方向是「裡奇流（Ricci flow）」的收斂性。

什麼是裡奇流？在微分幾何中，「裡奇流」是一種固有的幾何學流動，它的主要思想是讓流形隨時間變形，即是讓度規張量隨時間變化，觀察在流形的變形下，Ricci 曲率是如何變化的，以此來研究整體的拓撲性質。它的核心是 Hamilton-Ricci 流方程，是一個擬線性拋物型方程組。

裡奇流以義大利數學家格雷戈裡奧 · 裡奇 - 庫爾巴斯託羅（Gregorio Ricci Curbastro）的名字命名，由美國數學家理察 · 哈密頓（Richard Hamilton）於 1981 年首次引入，也稱裡奇 - 哈密頓流。這個工具同時被俄羅斯數學家格裡戈裡 · 佩雷爾曼（Григорий Яковлевич Перельман）用於解決龐加萊猜想。

對於普通人來說，這種書面解釋可能有點抽象。因此王兵教授給了我們一個生動的比喻：如果吹一個氣球，氣球會不斷膨脹，我們可以用「裡奇流」來研究它空間的變化，最後得到一個「盡善盡美」的理想結果。王兵教授還提到，「大到宇宙膨脹，小到熱脹冷縮，諸多自然現象都可以歸結到空間演化」。

兩位教授關於高維凱勒裡奇流收斂性的論文發表在《微分幾何學雜誌（Journal of Differential Geometry）》上，該論文率先解決了哈密爾頓—田猜想和偏零階估計猜想。《Journal of Differential Geometry》是微分幾何領域最高級別的專業期刊，主編是國際數學領袖丘成桐教授。

論文連結：https://projecteuclid.org/euclid.jdg/1599271253

這篇論文引入了很多新思想和新方法，對幾何分析，尤其是裡奇流的研究產生了深遠的影響。《科技日報》報導稱，利用這篇論文的結果，陳秀雄、王兵和孫崧給出丘成桐穩定性猜想基於裡奇流的新證明。此外，該論文的核心思想也被王兵和李皓昭推廣到平均曲率流的研究中，並成功解決了著名的延拓性猜想。

新華社的報導中提到，這項研究歷時 5 年，論文篇幅長達 120 多頁。由於審稿人需要花大量時間去了解新的概念和方法，論文的審稿又花了 6 年，近期才正式發表。審稿人評論說，這篇論文是幾何分析領域的重大進展，將激發諸多相關研究。菲爾茲獎獲得者西蒙 · 唐納森稱讚說，這是「幾何領域近年來的重大突破」。

人物簡介

陳秀雄教授是中國科學技術大學「吳文俊講席教授」、國際著名幾何分析學家，2018 年成為上海科技大學數學科學研究所的創始所長。他 1987 年畢業於中科大數學系，隨後就讀於中國科學院研究生院，獲碩士學位。1989 年由國家保送去美國賓夕法尼亞大學攻讀博士和博士後，並獲美國國家科學基金資助。

圖源：https://www.shanghaitech.edu.cn/2019/0626/c1001a43342/page.htm

陳秀雄教授主要的研究領域是大範圍微分幾何及非線性偏微分方程。2014 年，陳秀雄教授與英國數學家唐納森、中科大校友孫崧博士合作，成功解決了被譽為「復幾何領域自卡拉比猜想解決後最重要的問題」的「丘成桐猜想」。《美國數學會雜誌》審稿人評價說：「陳 - 唐納森 - 孫的證明是突破性的，它不僅解決了一個基本性的問題，同時還發展了許多新穎有力的工具，以揭示卡勒幾何、代數幾何和偏微分方程之間的深刻聯繫。」

之後，陳秀雄、西蒙 · 唐納森和孫崧憑藉他們在《美國數學會雜誌》上連續發表的三篇論文《Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds, I, II and III》，獲得了 2019 年奧斯瓦爾德 · 維布倫（Oswald Veblen）幾何獎。此外，陳秀雄還榮獲了 2019 年度西蒙斯學者獎。

本次突破的另一位主要研究者是中科大數學科學學院的王兵教授。1998 年王兵入學中科大少年班學院，2003 年赴美，求學於威斯康星大學麥迪遜分校數學系，於 2008 年博士畢業。此後歷任普林斯頓大學講師、石溪大學西蒙斯幾何與物理中心研究助理教授以及威斯康星大學麥迪遜分校助理教授、副教授（終身教職）。2018 年王兵教授回到中科大數學科學學院工作。

王兵教授的研究專長是幾何流，特別是凱勒裡奇流、裡奇流和平均曲率流等。主要研究方向包括微分幾何、代數幾何、偏微分方程。

參考連結：

http://www.xinhuanet.com/tech/2020-11/09/c_1126714332.htm

http://stdaily.com/index/kejixinwen/2020-11/05/content_1040775.shtml

https://www.shanghaitech.edu.cn/2018/1122/c1001a36340/page.htm

http://news.ustc.edu.cn/2019/0621/c15884a387499/page.htm

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