坐標系中一般位置平行四邊形(矩形)有關點坐標求法

題目：無錫2020中考數學壓軸題（題號28）

28．（10分）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線OA交二次函數y＝x^2/4的圖象於點A，∠AOB＝90°，點B在該二次函數的圖象上，設過點（0，m）（其中m＞0）且平行於x軸的直線交直線OA於點M，交直線OB於點N，以線段OM、ON為鄰邊作矩形OMPN．

（1）若點A的橫坐標為8．

①用含m的代數式表示M的坐標；

②點P能否落在該二次函數的圖象上？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．

（2）當m＝2時，若點P恰好落在該二次函數的圖象上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線OA的函數表達式．

問（1）①根據題意作圖，注意區分哪些點在二次函數上，哪些點在直線上，哪些點是交點。

點A的橫坐標已知，在拋物線上，則A(8,16)。直線AO:y=2x，My=m M(m/2,m)

②用m表示點P的坐標，代入拋物線解析式，看是否有解。

由於PMON是矩形，這裡有兩種常見思路。一是利用矩形對角線長相等的特點，求出P點坐標，二是利用平行四邊形一般思路，△PEM≌△OCN

直線AO於BO互相垂直（∠AOB＝90°），所以兩直線斜率的積是-1，求BO的斜率是-1/2,直線BO:y=-x/2 Ny=m,Nx=-2m N（-2m,m） O』(-3m/4,m) P(-3m/2,2m)

利用中點公式，把P代入拋物線解析式，求出m=32/9

同理，也可以利用全等求P坐標。Py好理解，為2m。

Px=-(EM-MC)=MC-EM=MC-NC=m/2-(2m)=-3m/2

問(2)與前問結合起來看，已知m=2,則設A（a,a^2/4），同樣地，用含a的代數式表示P坐標，思路與問（1）相同，注意A點是可以在y軸左右兩側的。

直線OA:y=ax/4 M（8/a，2）

直線OB：y=-4x/a N（-a/2,2）

P(8/a-a/2,4)在拋物線上。

接出a值有四個：4±4根號2，-4±4根號2

注意，求德是直線OA:y=ax/4，記得代入。