齊次式是一種常見的關係式，它體現了數學的對稱美。有關二次曲線的題目往往運算量較大，引入齊次方程可以化繁為簡，化難為易。怎樣應用呢？
途徑1 一次方程二次化
通過乘積，將兩直線方程合成二次式，作為新曲線參與解題。
例1 直線與雙曲線及其漸近線交於A、B、C、D四點（如圖1），求證|AC|=|BD|。
證明 將兩漸近線方程合成二次式
即
聯立方程組，得
由於（1）、（2）消去y，所得二次方程僅常數項不同，因此必有
亦即AB、CD中點重合
由平面幾何知識知|AC|=|BD|
例2 已知：，試問：若且唯若a,b滿足什麼條件時，對上任一點P，均存在以P為頂點，與外切、與內接的平行四邊形？並證明你的結論。
解 過P點作的一條直徑PR（過橢圓中心的線段稱為直徑），作直徑QS⊥PR，顯然PQRS為菱形。（想一想，為什麼？）
設PS方程為
（此為直線的法線式方程，其中為PS垂線的傾角，p為O到PS距離）
則直線OP、OS的方程可「合成」為
即
（可以證明此曲線方程是雙曲線型過原點，且過P、S，故即為直線OP與OS兩直線方程的「合成」）
變形為
由OP⊥OS可得
所以
而菱形PQRS與相切的充要條件為p=1
即。
途徑2 常數字母化
將直線方程變換為的形式進行代換，消去常數項，巧構齊次方程。
例3 已知直線與二次曲線＋F=0，相交於M、N兩點，試求直線OM、ON垂直的充要條件。
解 由得
代入二次曲線方程得x,y的齊次方程
方程是x,y的齊次方程，因此，（*）表示過原點的兩直線；
又M、N坐標滿足方程（*），
因此，（*）就是OM、ON的方程。
（*）可改寫成
（其中G是常數不必算出）
則OM⊥ON的充要條件是
即
例4 已知圓C：，問是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得弦AB，以AB為直徑的圓經過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由。
解 設l的方程：，則
代入圓的方程，得
整理得
由於，可得
由OA⊥OB，則
▍ 來源：綜合網絡
▍ 編輯：Wordwuli
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