【圓錐曲線】二次曲線系及其應用

2021-02-08 奇趣數學苑

首先，這篇文章靈感來源於老師的一道習題：

過平面上的4個點的圓錐曲線是否存在且唯一？證明你的結論

答案是：若已知四點的任意三點不共線存在，但不唯一。

如果其中存在至少三點共線，則不存在圓錐曲線經過這四點。

過不共線的四點有無窮多條二次曲線

對於第一種情形，獲得答案的方法也很簡單：舉反例。

對於四個點  有超過一條圓錐曲線

 和 


我們把題目中的「圓錐曲線」一詞換成「二次曲線」再來進一步討論一些內容。

二次曲線的一般表示

二次曲線一般的表示為 

並且要求  不全為 

我們先討論已知四點中不存在共線的狀況

現在我們想要證明，對於經過點  的二次曲線不唯一，即證關於  的方程組

有無窮多組不共線的解。

註：只有共線解表示任意兩組解滿足 

同樣，我們用類似的方法，可以說明：平面上不存在共線四點的五點唯一確定一條二次曲線

而這個結論是顯然的，因此我們已經證明了過四點的二次曲線不唯一。

至於過這四點的圓錐曲線是否唯一，我們就要討論一下二次曲線不退化的條件。


二次曲線非退化的條件

首先我們在這裡先不引入無窮遠元素（當然如果已經習慣我沒事兒幹天天引入無窮遠元素的可以把這裡所有的坐標當成齊次坐標看）

退化二次曲線指的是平面中的兩條直線  和  的並組成的圖形。

我們知道兩個圖形  和  的並就是 

所以我們知道二次曲線退化等價於  

化簡一下，也就是

現在我們只要證明，去除這一類解以外，方程組  仍然有無窮多組解。

換句話說，我們只需解出方程 的所有解，若其與  的解集不相等，即證。

我們知道

 等價於

已知不存在三點共線的情形，所以我們知道兩個子方程中，至多兩個點滿足同一個子方程。

由對稱性，我們討論  滿足第一條子方程，  滿足第二條子方程的情形。

我們知道這種情況下，  的解  只有一組共線解，

 的解  只有一組共線解。

此時，這個二次曲線的係數  已經確定。我們只需選取這個二次曲線之外的一點  ，則  不滿足方程  ，如果  不含有其他解，則將  和 聯立後應無解，矛盾！

我們知道，使  成立的所有解對應的所有二次曲線之並（記為  ）等於經過這四個點兩兩組合的六條直線之並。它無法遍歷  ）

所以在  之外選取兩點  ，

 和 聯立後的解

的所有解對應同一條非退化二次曲線  。

在  外再選一點 

 和 聯立後

又確定了一條不同於  的非退化二次曲線 

這就說明了過點  的非退化二次曲線存在且不唯一。

即過四點無法唯一確定一條圓錐曲線。

我們剛才已經證明了經過四個點的二次曲線並不唯一，那麼經過這四個點的所有二次曲線是否存在一些關係呢？

過四點的二次曲線系定理：已知經過不共線四點的兩條二次曲線  和  ，則 表示過這四點的所有二次曲線，並且我們稱這條方程表示的曲線係為「過該四點的二次曲線系」

如果讀者學過高等代數。我們知道方程組  的秩為  ，因此解空間應有兩個線性無關解作為基。而  的係數不是共線解，因此線性無關，從而可以作為解空間基，就證完了這個定理。

對於沒有學過高等代數的讀者，我們採取初等方法說明之。

首先，形如  的方程一定是二次曲線方程。否則，存在  使得

而

這就意味著 直線 經過  四點，與四點不共線矛盾！

因此 只能表示二次曲線。

而對任意一條過這四點的二次曲線 

首先一定存在  滿足  ，將四點坐標代入，則

是一個關於  的方程組，它只有唯一解。

我們發現  恰好是其一組解。那麼它僅有這一組解。

所以 

這也就證明了 表示過這四點的所有二次曲線。

二次曲線系的幾個應用例1：已知某圓錐曲線的表達式  與兩條直線  交於四點。求證：經過這四點的二次曲線可以表示為 

證明：由於  是過這四點的二次曲線，且是退化的，因此它與非退化的  的形狀顯然是不同的。證畢


例2：證明Candy定理的一般情形（即將圓可以替換成任意二次曲線）。

Candy定理筆者已經在蝴蝶定理一文中介紹過了。（定理在上文的例3）

現在我們給出一種解析幾何的證法。（順帶，如果各位讀者非要糾結是否應該討論係數為無窮的狀況，那我會建議你從一開始就設齊次坐標）

Candy定理一般情形

以  為原點建立平面直角坐標系，設三條直線分別為 

（其中  是直線  的方程）

我們再設  ，則過  的兩條直線可以表示為 

那麼我們知道過四點的二次曲線系可以表示為

它與  交點滿足 

即存在  ，使得  ，化簡，即

其兩根  滿足 

代入即得  ，證畢。


利用類似的方法，也可以證明Pascal定理


例3：求證：標準方程下的非圓的圓錐曲線上共圓四點的兩條兩點連線斜率相反。
註：標準方程是指形如  和  及其旋轉  的整數倍對應的方程。

設過這四點的二次曲線係為

化簡，則（只需關注二次項） 

這是個圓的方程，因此

化簡，則  ，從而 ，即證。


閱讀完這個題目後，有興趣的讀者可以去做一下2018年全國高中數學聯賽A卷第一試11題。

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