2020年全國高中數學聯賽B卷壓軸題速解

2020-09-14 林根數學

2020年全國高中數學聯賽B卷壓軸題速解

林根數學 林根數學 今天



說一下標答或命題者的思路,一般情況下,給出有限項的數列其通項公式並不唯一,但如果先給出了通項公式,反推其二階線性遞推數列的遞推關係an+2=pan+1+qan,是可以唯一確定的.

而本題恰好是給了熟知Fibonacci數列的通項公式的表達,則知an+2=an+1+an,且a1=a2=1.

實際上, Fibonacci數列的以下性質是熟知的:


下面就用其中的性質(2)來證本壓軸題:


證畢!

如此看來,高聯出題,有些是考查知識的深度,有些則是考查知識的寬度,本題而言,如果預知Fibonacci數列的相關性質,解答起來,不費吹灰之力!

類似的問題在清北筆試中也有,比如:

變式2:數列{an}滿足a1=1,a2=2,an+2=6an+1-an,（n∈N*）,對任意正整數n，下列說法正確的是（ ）

A. a2n+1=6an+2an

B. an≡1(mod9)或an≡1(mod2)

C. 4an+1an-7為完全平方數

D. 8an+1an-7為完全平方數

(2016清華)


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《林根數學》資料：

1.《高考數學全觀》（上、下）（高考第一輪）教案及學案

2.《高考數學重觀》（高考第二輪）教案及學案

3.《清北數學高觀》教案及學案

4.《中考數學微觀》教案及學案

5.人教版必修1—5全套教案及學案


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