一文看懂有理數的「理」字

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微信公眾號-theDennisCode 作者-Dennis Liu

在文思枯竭數月之後，Den同學又和大家見面了。這期我們聊聊「有理數」這個數學概念的翻譯。
昨天，Den同學偶然看到了一個關於虛數的英語視頻，視頻作者不經意間提到，有理數的英文-Rational來源於比例-Ratio。這句話一下子解釋了Den同學中小學學習數學時的一大困惑。首先我們來回顧一下有理數的概念。有理數是指可以表示成兩個整數之比的數。與之相對的無理數，則是那些不能由整數比表示的實數，比如根號二(當然，實數以外還有虛數)。可是為什麼滿足這個性質的數就叫有理，沒這麼個性質就無理了呢？在Den同學讀初中的前移動互聯時代，不懂就查的習慣還沒有得到有效的培養。記得當時數學老師講了有理數和無理數的來源，但是似乎並沒有提到其中翻譯的玄機。這個問題也就擱置了下來。直到這次Den同學聽到了英語母語者用英語對有理數的解釋。有理數含義裡的「比」，和名字裡的「理」有什麼關係呢？在中文裡，「比例」和「有理」這兩個詞乍一看是沒有聯繫的。但是在英文中，表示比例的一個詞是Ratio，表示有理的一個詞是Rational。Ratio（比例）在劍橋詞典裡的一個解釋為：「a comparison of two numbers calculated by dividing. 」[1] 用中文翻譯過來，是指「兩個數的一個對比，用除法的方式進行。」Rational（有理的）則是：「based on clear thought and reason」（基於清晰的思考和推理）[2]。即使你不會英語，你都能發現，Ratio和Rational這兩個詞的前半截長得一模一樣。所以，這兩個詞有關係嗎？這裡還需要提到一個概念--英語的後綴。在英語裡，我們可以通過添加後綴來改變詞語的性質。比如有道讓Den同學記憶猶新的完形填空題，答案是-whiten（讓..變白[動詞]）。當時的Den同學還不知道，給white（白色[名詞]）添加後綴，就可以讓白色從名詞變成動詞。同理，Rational在有理數裡的用法，按照英語視頻裡的說法，其實是給Ratio加了後綴，把它變成了一個形容詞。"-al"這個後綴的意思，是"used to add the meaning 'connected with' to adjectives, or 'the action of' to nouns"[3]，譯為「把名詞變成形容詞，表示和...相關，或 ...的行動」。所以，假如我們把Rational解釋成Ratio的派生詞，而不理會那個表示「有理性」的單詞Rational，正好符合「有理數」的定義--和「比例」相關的數。寫到這裡，Den同學猜測，由Ratio派生出來的Rationl，會不會和表示有理的Rational只是形式相同，但是並不是同一個詞呢?帶著這個困惑，Den同學打開了詞源辭典。（感謝我的詞彙學老師）在這裡，Ratio的詞源是（Den同學翻譯）：「Ratio在現代的意思最早大概出現於1630年代，源自拉丁語的『ratio』。拉丁語中指『帳單清算，計數，計算；商業事務，過程；推理，判斷，理解』，數學上指「數和數的關係」，最早可追溯於1650年代。」 [4]「Rational 14世紀晚期指和推理有關的人，事。15世紀中葉指天性喜好推理的人，或有道理的事。經由法語，來自於拉丁語的'rationalis'，源頭是拉丁語的'ratio'。"[5]由此可見，Ratio這個詞，在英語的早期使用，甚至在拉丁語中就已經有理性和比例這兩個概念了。有理數的英語單詞，和有理性的英語單詞，關係錯綜複雜，遠不是一個形近字的巧合可以解釋的。追本溯源，得同時研究「理性」和「比例」兩個概念在西方的發展。

當年Den同學的老師講解有理數和無理數時，提到了畢達哥拉斯學派弟子希伯斯的傳說。相傳希伯斯無意間發現了無理數的存在。而該學派的信念是「一切數都可以表示為兩個整數的比值」。所以在傳說的後半段，由於與學派相悖，倒黴蛋希伯斯被丟進了大海。[5]

而好巧不巧的是，Den同學在調研「理性」在西方世界的發展時，也發現了畢達哥拉斯學派的蹤影。根據一篇大學講義的內容，畢達哥拉斯本人認為「數學的法則既是萬物的法則，萬物皆可由數表達」，他甚至把數字和事務進行了一一對應（比如他把「正義」安排給了數字「4」）。[6]由於在畢達哥拉斯的體系中，數學既是理性，比例成就數字，所以在他的時代，理性和成比例似乎沒有什麼區別。而希伯斯那不成比例的神奇數字，自然是無理得很了。

在得到了英文方面的初步結論之後，Den同學又去搜索了一下有理數的中文來源。根據知乎上一位老師的說法，無理數的翻譯很可能來源於明朝利瑪竇和徐光啟翻譯的《幾何原本》：這個翻譯漂洋過海去了日本，最後又從日本舶回。[7] 維基百科中也談到這個來源。為此，Den同學在網上找到了利瑪竇版《幾何原本》的電子版，在搜索了所有帶「理」字的句段之後，Den同學發現了這樣的語句：「比例者 兩幾何以幾何相比之理 兩幾何者 或兩數 或兩線 或兩面 或兩體 各以同類大小相比 謂之比例 若線與面 或數與線相比 此異類 不為比例 又若白線與黒線 熱線與冷線 相比雖同類 不以幾何相比 亦不為比例也」 [8]比例是兩個幾何物相比的「理」，兩個幾何物，比如兩個數，兩條線，兩個面，兩個體，兩兩同類大小的比稱為比例。如果是線和面，或者數和線相比，由於雙方不一樣的類別，所以不成比例。又比如白線和黑線比，熱線和冷線比，雖然是同類，但是由於不是幾何物，所以也不是比例。「兩比例之理相似 為 同理之比例 兩幾何相比謂之比例 兩比例相比謂之同理之比 例如甲與乙兩幾何之比例 偕丙與丁兩幾何之比例 其理相似 為同理之比 ...凡同理之比例有三種 有數之比例 有量法之比例 有樂律之比例 」[9]兩個比例的「理」相似的話，則是「同理之比例」。兩個幾何物的比叫比例，那兩個比例的比則稱為同理的比。如甲和乙兩個幾何物的比例，同丙和丁兩個幾何物的比例，他們的「理」相似，就是同理之比。... 同理之比有三種：數的比例，測量的比例，樂律的比例。乍一看這裡的理似乎是「規律，屬性」的意思。為了究其含義，Den同學又找來了上面第一段《幾何原本》對應的英文版如下：「a ratio is a certain type of condition with respect to size of two magnitudes of the same kind.」[10]其中與中文「理」對應的部分，確實是「condition」（狀態）了。如果我們再看第二段的對應英文版，會發現事情變得有趣了起來：Magnitudes are said to be in the same ratio, the first to the second, and the third to the fourth, when equal multiples of the first and the third either both exceed, are both...[10]幾個大小幅度成比例是指，如果比例一邊是第一個和第二個數（甲乙），另一邊是第三個，第四個數（丙丁），在第一和第三上同時乘相同的數，...這裡不僅順序和中文版不大一樣，內容也發生了變化。英文版是我們常見的長難句定義，而中文版不僅先進行了歸納，用「相似」概括了英文版的企圖，還舉了音律，測量的例子以方便理解。更重要的是，此時中文的「理」並沒有直接的對應，更像是利瑪竇歸納的一種解釋。
如果我們繼續往後讀的話，從英文版中能看到這麼一段：「An inverse ratio is a taking of the (ratio of the) following (magnitude) as the leading and the leading (magnitude) as the following."[10]反比例是把比例裡在後面的（大小幅度）放在前面，在前的（大小幅度）放在後面。這裡開始，文言版的「理」竟然開始佔據「比例」的位置：「反比例」成了「反理」，原本應做「反理之比」的「比」竟然被省略了！老利和老徐不僅意譯了原文，還把「比」悄悄換成了「理」！箇中原因，Den同學的猜測是：在文言版《幾何原本》的體系下，「比例」已經被用來闡述同類別的數，測量，音律的比這種「實際概念」了，而抽象過後的「比」，只有用一個抽象的詞來表示。「理」就是這麼上位的。興奮之餘，我們還是沒有在利瑪竇和徐光啟的《幾何原本》中發現「有理數」的直接來源。可無理數的發現過程分明是和幾何有關係的。

在進一步的研究時，Den同學偶然發現了一個知乎用戶對「有理數」的考證。(引用的章節和本文相似，但提到了古希臘語原文。感興趣的同學可以去看一下，互相參考）[11]在這篇文章的提示下，Den同學了解到利瑪竇版《幾何原本》中其實是有提及「有理數」的：

凡比例有二種 有大合 有小合 以數可明者為大合 如二十尺之線比十尺之線是也 其非數可明者為小合 如直角方形之兩邊 與其對角線可以相比 而非數可明者是也

比例分兩種：大合、小合。可以用數字表示清楚的是大合，比如二十尺的線和十尺的線相比。不能用數字清楚表示的是小合，比如直角方形（矩形）的兩條邊，和對角線可以相比，但是無法用數字表示它們的比。

可見「有理數」最早的翻譯竟然是「大合」！

而後，[11]的文章提到，李善蘭版的《幾何原本》續作中將有理數譯為了有比例數。由於李善蘭版本較為罕見，本校圖書館雖有館藏，但是無奈圖書館閉館，Den同學也無法一窺其真面目。

幸運的是，Den同學找到了一篇引用《幾何原本》的學位論文[12]。這篇文章引用了李善蘭版《幾何原本》的數段，可以看到其中有「無比例」和「無等」兩種稱呼，且有「則乙丙與丁己亦有等之理」的語句。

更加意外的是，論文[12]引用的主要著作，成書於1906年的《無比例線新解》，出現了「無法化之為有理」的說法。此書同時也使用「無等」和「無比例」的稱呼。

由此可見，「有理數」的稱呼應該大致成型於1906年之前，李善蘭（1866年出版《幾何原本》續作）之後。考慮到徐光啟利瑪竇版《幾何原本》中有「屬理」，「同理」，「反理」等各種比例的情況，因而，「無理」極有可能被後人用作「無比」的同義詞。

雖然我們沒有找到「有理數」的直接來源，但是對於「理」和「比例」的概念在中文和英文中的詞義都進行了探索。因此，Den同學關於有理數的「理」也有了一個自己的看法：在現代西方文化的遠祖古希臘文化中，理性和數學有著千絲萬縷的聯繫。而彼時的數學，各種比例佔有重要的地位。因而比例和理性的用詞表達有重複之處也不必驚訝。自然，發端於古希臘文化的「有理數」和「無理數」概念，參雜了「比例」和「理性」的雙重含義也就不奇怪了。而在現代社會，由於「理性」涵蓋的內容大大豐富，數學的內容也增加了許多，「有理數」和「理性」的聯繫自然也不如古希臘那麼緊密。這時候，有理數的意義也就回歸本源，成為「比例」的數。這也就是通過詞綴和「ratio」的方式分析「有理數」英文單詞的好處。在中文世界，或許是因為《幾何原本》的巧合，「理」字和「比例」建立起了聯繫。從這個角度，我們仍然可以通過語言本身，在「有理數」的中文翻譯中窺探到必達哥斯拉學派思想的奧秘。但是，「有理數」這個概念畢竟不是中文本土概念，加上現代漢語也不再以「理」表示比例的意思，因而，「有理數」這個詞對於我們來說，就有點陌生了。從有理數概念的發展過程來說，Den同學覺得「有理數」這個翻譯沒有錯（雖然在寫這篇文章之前Den同學對這個翻譯抱怨連連），一些地方推薦的「可比數」這個翻譯也沒有問題。但是，不管是保留「有理數」，還是改成「可比數」，都是巨大的工程。前者需要所有數學老師都對「有理數」的脈絡以及翻譯的由來有個直觀的認識，這樣才能解除學生的疑惑；後者則需要修改大量的典籍文章。不過大體看來，修改面臨的困難可能要更大一點。因此，「有理數」的概念大概率還是會繼續留在中文語境中。今天這個文章應該是Den同學公眾號史上最長了。寫到這裡，江湖慣例不能忘，Den同學還是來來談談自己得到的啟示。從翻譯的角度，Den同學一直持有的觀點是，科技類翻譯，概念的傳達、理解才是最重要。如果「有理數」是一個最近傳入的新詞的話，Den同學積極贊同譯為「可比數」。從一般讀者的角度，Den同學重複一下之前發布的《小學語文vs高中英語》中的觀點：大家要意識到語言和思想、文化的關係，有意識地修煉自己的語言，在抓住舶來文化的來龍去脈的同時，努力對漢語文化做出自己的貢獻，產出更多我們首創的概念。最後，Den同學想引用一個近期看到的「科技袁人」節目的視頻收尾。

排版 &  文字 | Dennis Liu

[1] Ratio, 劍橋詞典（網絡版），2020年8月8日，https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/ratio[2] Rational,劍橋詞典（網絡版），2020年8月8日，https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/rational[3] -al,劍橋詞典（網絡版），2020年8月8日， https://dictionary.cambridge.org/dictionary/english/al?q=-al[4] Ratio, 在線詞源辭典，2020年8月8日，https://www.etymonline.com/word/ratio?ref=etymonline_crossreference[5] Wikipedia contributors. (2020, August 5). Irrational number. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 06:56, August 8, 2020, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Irrational_number&oldid=971326918[6] Nicholas K, Rauh, CLCS 181: Classical World Civilizations Lecture 19, from https://web.ics.purdue.edu/~rauhn/greek_rational_thought.htm[7] 知乎用戶：張晨，《有理數為什麼叫「有理數」？》https://zhuanlan.zhihu.com/p/76605187[8] 利瑪竇，《幾何原本》，卷五，界說十九則第三界，https://zh.m.wikisource.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC/%E5%8D%B7%E4%BA%94[9] 利瑪竇，《幾何原本》，卷五，界說十九則第四界，https://zh.m.wikisource.org/wiki/%E5%B9%BE%E4%BD%95%E5%8E%9F%E6%9C%AC/%E5%8D%B7%E4%BA%94[10] R. Fitzpatrick, Euclid’s Elements. Lulu.com, 2007.[11] 知乎用戶：羥基氧，「無理數」還是「無比例數」？——《幾何原本》原文、古代漢譯本中的ἄλογος/irratio翻譯探源，https://zhuanlan.zhihu.com/p/50810437

[12] 王鼎勳, 「從《幾何原本》第十卷到《無比例線新解》,」 2007, Accessed: Aug. 08, 2020. [Online]. Available: http://rportal.lib.ntnu.edu.tw:80/handle/20.500.12235/101623.