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知識點：
常用的誘導公式有以下幾組：
公式一：
設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα （k∈Z）
cos（2kπ＋α）＝cosα （k∈Z）
tan（2kπ＋α）＝tanα （k∈Z）
cot（2kπ＋α）＝cotα （k∈Z）
公式二：
設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα
公式三：
任意角α與 -α的三角函數值之間的關係：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數值之間的關係：
sin（π/2＋α）＝cosα
cos（π/2＋α）＝－sinα
tan（π/2＋α）＝－cotα
cot（π/2＋α）＝－tanα
sin（π/2－α）＝cosα
cos（π/2－α）＝sinα
tan（π/2－α）＝cotα
cot（π/2－α）＝tanα
sin（3π/2＋α）＝－cosα
cos（3π/2＋α）＝sinα
tan（3π/2＋α）＝－cotα
cot（3π/2＋α）＝－tanα
sin（3π/2－α）＝－cosα
cos（3π/2－α）＝－sinα
tan（3π/2－α）＝cotα
cot（3π/2－α）＝tanα
(以上k∈Z)
注意：在做題時，將a看成銳角來做會比較好做。
※規律總結※
上面這些誘導公式可以概括為：
對於π/2*k ±α(k∈Z)的三角函數值，
①當k是偶數時，得到α的同名函數值，即函數名不改變；
②當k是奇數時，得到α相應的餘函數值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.（奇變偶不變）
然後在前面加上把α看成銳角時原函數值的符號。（符號看象限）
例如：
sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4為偶數，所以取sinα。
當α是銳角時，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符號為「－」。
所以sin(2π－α)＝－sinα
上述的記憶口訣是：
奇變偶不變，符號看象限。
公式右邊的符號為把α視為銳角時，角k·360°+α（k∈Z），-α、180°±α，360°-α
所在象限的原三角函數值的符號可記憶
水平誘導名不變；符號看象限。
各種三角函數在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣
「一全正；二正弦(餘割)；三兩切；四餘弦(正割)」．
這十二字口訣的意思就是說：
第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是「＋」；
第二象限內只有正弦是「＋」，其餘全部是「－」；
第三象限內切函數是「＋」，弦函數是「－」；
第四象限內只有餘弦是「＋」，其餘全部是「－」．
上述記憶口訣,一全正,二正弦,三內切,四餘弦
還有一種按照函數類型分象限定正負：
函數類型 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
正弦 .＋..＋..—..—...
餘弦 .＋..—..—..＋...
正切 .＋..—..＋..—...
餘切 .＋..—..＋..—...
同角三角函數基本關係
同角三角函數的基本關係式
倒數關係:
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的關係：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方關係：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)
同角三角函數關係六角形記憶法
六角形記憶法：（參看圖片或參考資料連結）
構造以"上弦、中切、下割；左正、右餘、中間1"的正六邊形為模型。
（1）倒數關係：對角線上兩個函數互為倒數；
（2）商數關係：六邊形任意一頂點上的函數值等於與它相鄰的兩個頂點上函數值的乘積。
（主要是兩條虛線兩端的三角函數值的乘積）。由此，可得商數關係式。
（3）平方關係：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數值的平方和等於下面頂點上的三角函數值的平方。
兩角和差公式
兩角和與差的三角函數公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ
tan（α＋β）＝(tanα+tanβ)／(1-tanαtanβ)
tan（α－β）＝(tanα－tanβ)／(1＋tanα·tanβ)
二倍角公式
二倍角的正弦、餘弦和正切公式（升冪縮角公式）
sin2α＝2sinαcosα
cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)
tan2α＝2tanα/[1－tan^2(α)]
半角公式
半角的正弦、餘弦和正切公式（降冪擴角公式）
sin^2(α/2)＝(1－cosα)／2
cos^2(α/2)＝(1＋cosα)／2
tan^2(α/2)＝(1－cosα)／(1＋cosα)
另也有tan(α/2)=(1－cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)萬能公式
萬能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
萬能公式推導
附推導：
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)).*，
（因為cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝2tanα/(1＋tan^2(α))
然後用α/2代替α即可。
同理可推導餘弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比餘弦得到。
三倍角公式
三倍角的正弦、餘弦和正切公式
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
tan3α＝[3tanα－tan^3(α)]／[1－3tan^2(α)]
三倍角公式推導
附推導：
tan3α＝sin3α/cos3α
＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα
＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα
＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^3(α)
＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα
＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))
＝4cos^3(α)－3cosα
即
sin3α＝3sinα－4sin^3(α)
cos3α＝4cos^3(α)－3cosα
三倍角公式聯想記憶
★記憶方法：諧音、聯想
正弦三倍角：3元 減 4元3角（欠債了(被減成負數)，所以要「掙錢」(音似「正弦」)）
餘弦三倍角：4元3角 減 3元（減完之後還有「餘」）
☆☆注意函數名，即正弦的三倍角都用正弦表示，餘弦的三倍角都用餘弦表示。
★另外的記憶方法:
正弦三倍角: 山無司令 (諧音為 三無四立) 三指的是"3倍"sinα, 無指的是減號, 四指的是"4倍", 立指的是sinα立方
餘弦三倍角: 司令無山 與上同理
和差化積公式
三角函數的和差化積公式
sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]·cos[(α－β)/2]
cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]·sin[(α－β)/2]
積化和差公式
三角函數的積化和差公式
sinα ·cosβ＝0.5[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
cosα ·sinβ＝0.5[sin(α＋β)－sin(α－β)]
cosα ·cosβ＝0.5[cos(α＋β)＋cos(α－β)]
sinα ·sinβ＝－0.5[cos(α＋β)－cos(α－β)]
和差化積公式推導
附推導：
首先,我們知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我們把兩式相加就得到
sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理,若把兩式相減,就得到
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同樣的,我們還知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以,把兩式相加,我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我們就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理,兩式相減我們就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
這樣,我們就得到了積化和差的四個公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.
我們把上述四個公式中的a+b設為x,a-b設為y,那a=(x+y)/2,b=(x-y)/2
把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
教案：
教材分析
本節主要內容是三角函數的誘導公式中的公式二至公式六，其推導過程中涉及到對稱變換，充分體現對稱變換思想在數學中的應用，在練習中加以應用，讓學生進一步體會的任意性；綜合六組誘導公式總結出記憶誘導公式的口訣：「奇變偶不變，符號看象限」，了解從特殊到一般的數學思想的探究過程，培養學生用聯繫、變化的辯證唯物主義觀點去分析問題的能力。誘導公式在三角函數化簡、求值中具有非常重要的工具作用，要求學生能熟練的掌握和應用。
教學目標與核心素養
課程目標
1.藉助單位圓，推導出正弦、餘弦第二、三、四、五、六組的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，並解決有關三角函數求值、化簡和恆等式證明問題
2.通過公式的應用，了解未知到已知、複雜到簡單的轉化過程，培養學生的化歸思想，以及信息加工能力、運算推理能力、分析問題和解決問題的能力。
數學學科素養
1.數學抽象：理解六組誘導公式；
2.邏輯推理：「藉助單位圓中三角函數的定義推導出六組誘導公式；
3.數學運算：利用六組誘導公式進行化簡、求值與恆等式證明.
教學重難點
重點：藉助單位圓，推導出正弦、餘弦第二、三、四、五、六組的誘導公式，能正確運用誘導公式將任意角的三角函數化為銳角的三角函數；
難點：解決有關三角函數求值、化簡和恆等式證明問題．
課前準備
教學方法：以學生為主體，小組為單位，採用誘思探究式教學，精講多練。
教學工具：多媒體。
教學過程
一、 情景導入
利用誘導公式（一），將任意範圍內的角的三角函數值轉化到角後，又如何將角間的角轉化到角呢？
除此之外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關係，如關於坐標軸對稱、關於原點對稱等。那麼它們的三角函數值有何關係呢？
要求：讓學生自由發言，教師不做判斷。而是引導學生進一步觀察.研探.
二、預習課本，引入新課
閱讀課本188-192頁，思考並完成以下問題
1.π±α，－α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關係？
2．誘導公式二、三、四的內容是什麼？
3. ±α的終邊與α的終邊有怎樣的對稱關係？
4.誘導公式五、六的內容是什麼？
要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內可商量，最終選出代表回答問題。
三、新知探究
1.公式一：:終邊相同的角
、
2.公式二：終邊關於X軸對稱的角
3.公式三：終邊關於Y軸對稱的角
4.公式四：任意與的終邊都是關於原點中心對稱的終邊關於原點對稱的角
5.公式五: 終邊關於直線y＝x對稱的角的誘導公式(公式五)：
6、公式六:2π＋α型誘導公式(公式六)：
【說明】：①公式中的指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③記憶方法： 「奇變偶不變，符號看象限」；
【方法小結】：用誘導公式可將任意角的三角函數化為銳角的三角函數，其一般方向是：
①化負角的三角函數為正角的三角函數；
②化為[0,2]內的三角函數；
③化為銳角的三角函數。
可概括為：「負化正，大化小，化到銳角為終了」（有時也直接化到銳角求值）。
四、典例分析、舉一反三
題型一 給角求值
例1求下列各三角函數式的值：
解題技巧：（利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟）
利用誘導公式求任意角的三角函數值的步驟：
跟蹤訓練一
1．求下列各三角函數式的值：
解題技巧：(化簡求值的方法)
用誘導公式化簡求值的方法：
( 1.對於三角函數式的化簡求值問題，一般遵循誘導公式先行的原則，即先用誘導公式化簡變形，達到角的統一，再進行切化弦，以保證三角函數名最少.
( 2.對於這兩套誘導公式，切記運用前一套公式不變名，而後一套公式必須變名.即「奇變偶不變，符號看象限」.
跟蹤訓練二
解題技巧：（給值求值解題技巧）
1．給值求值型問題，若已知條件或待求式較複雜，有必要根據誘導公式化到最簡，再確定相關的值．
2．巧用相關角的關係會簡化解題過程．觀察所求角與已知角是否具有互餘、互補等特殊關係.在轉化過程中可以由已知到未知,也可以由未知索已知.常見的互餘關係有
跟蹤訓練三
五、課堂小結
讓學生總結本節課所學主要知識及解題技巧
六、板書設計
七、作業
課本194頁習題5.3.
教學反思
誘導公式溝通了任意角三角函數值與銳角三角函數值以及終邊有特殊位置關係的角的三角函數值之間的聯繫．在求任意角的三角函數值，解決有關的三角變換等方面有重要的作用，特別是誘導公式中的角可以是任意角，即，它在終邊具有某種對稱性的角的三角函數變換中，應用廣泛，如後續課中，畫餘弦曲線就是利用誘導公式把正弦曲線向左平移個長度單位而得到的．
課件：
練習：
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