平面向量數量積 的幾何意義

摘要：本文著重利用幾何意義理解平面向量的數量積（內積），在教材上原有的第一幾何意義「投影」的基礎上，創新引入數量積的第二幾何意義「極化」。將泛函分析中的「極化恆等式」降至二維，從而研究天津高考數學中平面向量數量積的相關問題，具有相當的普適性。巧妙利用「數形結合」的方式，深刻理解向量的本質——「代數與幾何的橋梁」。

關鍵詞：投影；極化；幾何意義；數形結合。

向量，既是高中數學的重點，也是線性代數的根基。對於這類數學核心的知識體系，天津高考自然格外重視。縱觀歷年天津卷高考，向量題目頻出不厭，難度普遍較高。

平面向量的難點可以大致分為以下兩類：第一類，平面向量基本定理相關問題；第二類，平面向量數量積相關問題。本文針對第二類問題進行分析。

平面向量的數量積涉及題型比較廣泛，主流問題有「求值」和「求最值（求取值範圍）」兩種。本質來說，無論其中哪一種題型，難點之所在都歸於「向量夾角」的影響。

由向量數量積的定義可知，兩個向量的數量積與這兩個向量的夾角有著密不可分的聯繫。平面向量的數量積是二維平面的內積運算，它不同於一般的線性運算。線性運算可以形象地理解為一維直線上的累加作用，與此不同的，向量的數量積則是一種空間上的累積作用，所以向量夾角的變化會影響這種累積的效果，從而影響數量積的數值。

由於夾角問題的存在，使得數量積的運算複雜許多。對於「求值」問題就會產生運算繁瑣的問題，而對於「求最值」問題就會受到夾角變化的影響，不容易尋找取得最值的條件。

筆者注意到：「兩個向量的數量積是一個數量」，這是代數層面的理解。我們將其轉化到幾何層面，那麼平面向量數量積的運算在幾何意義上可以理解為一種「降維」的過程。其實，教材中就有現成的模型——投影。

小結1.：由以上三道例題，我們可以適當總結利用投影解決「求值」問題的方法：第一，題目往往以平面幾何模型作為背景，並且有較明顯的「幾何特徵」（規則）；第二，通常要把方向不「規則」的向量，向具有明顯「幾何特徵」的三角形（如直角、等邊三角形）的邊做投影；第三，做投影后往往要構造出相似三角形，再運用平面幾何的知識求解。

小結3：利用坐標方法可以迅速地找到動向量的「蹤跡」，能夠直觀地在圖上表示出來，助力題目分析，一定程度上揭示了投影這一幾何意義的本質——垂線。

以上列舉了平面向量數量積的第一幾何意義——投影的三種表現形式。分別對「求值」和「求最值」這兩類問題進行深入剖析，並利用「坐標軌跡」的思想揭示了投影的本質。近幾年天津高考與模擬題中的類型題例，也充分顯示，投影在處理平面向量數量積的問題上，無疑是個系統完備，能夠有效地「規避」夾角的優選方法。

然而，深入研究不難注意到，無論是「求值」、「求最值」問題，還是「軌跡」問題，使用投影的前提條件都要「擁有一個『定』的向量（或是一個具有明顯『幾何特徵』的向量）」。

這是因為，投影具有方向性。如果兩個向量都是變化的，我們就無法構造投影。於是，類似於兩個向量均「不定」的問題，投影的方法將無法使用，而這類問題往往是平面向量數量積考察的真正難點所在。這也是第一幾何意義的局限性。

筆者查閱文獻，試圖尋找解決這類難題的普適方法。於是，在高等數學的泛函分析中發現了「極化恆等式」，並將其降至二維平面，得到了平面向量形式的極化恆等式。筆者深入分析其幾何意義，並挖掘其本質，發現這個恆等式也可以利用幾何的理解巧妙地「規避」向量的夾角給分析造成的繁瑣，與投影有著「異曲同工」之妙。於是，筆者為了完善利用幾何意義解決平面向量數量積問題的結構體系，嘗試建立了一個與投影類似的新模型，即平面向量的第二幾何意義——極化。

小結4：運用極化的方法解決「求最值」的問題，我們要先構建「矢量三角形」，而後取其第三邊中點與兩向量的公共起點連線，將兩向量的數量積轉化為「第三邊中線」與「第三邊一半」的平方差。這種處理的方法我們不妨也仿照投影，編一個口訣：「兩定兩動連中線」。

（1）「兩定」：矢量三角形中第三邊中點的位置是確定的；矢量三角形中第三邊的長度是定值。

（2）「兩動」：兩個向量的模長或方向不確定（或都不確定）

（3）「連中線」：兩向量的公共起點（或公共終點）與矢量三角形第三邊的中點連線。

小結5：利用坐標意義可以清楚地找到兩向量起點的軌跡，能夠直觀地在圖上表示出來，便於分析，同樣在一定程度上揭示了極化這一幾何意義的本質——圓。

平面向量數量積的兩個幾何意義，各自巧妙地揭示了內積運算的實質。兩種理論互相交錯，相互依存，共同構成了「利用幾何意義理解平面向量數量積」完備的結構體系。深刻探究了內積運算與線性運算的區別與聯繫。

在天津高考中，向量是考察的重點和難點，數量積作為平面向量的重要理論有著舉足輕重的地位。向量題目借著豐富的幾何背景，變化無窮。使用幾何意義解決數量積問題能夠快速、準確地找到答案，這種操作上的「迅速」與思路上的「明晰」是「基地分解」、「建系」等方法難以逾越的。

反過來，「基地分解」和「建系」則是向量數量積幾何意義的根基，由本文例題不難看出，幾何意義往往需要其他知識的輔助才能最終解決問題。所以，良好的基礎是使用幾何意義最堅實的後盾。

參考文獻

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[3].楊蒼洲.例談極化恆等式的應用[J].高中解題研究，2016,10:52-53

致謝

特別感謝：天津市第一〇二中學嚴虹老師在「投影」方面的研究，給予我思路上的啟發，以及嚴老師一直以來的支持和鼓勵。

感謝天津市第一〇二中學數學組：紀洪偉，馬萍，張倩老師對我研究的幫助與支持。

感謝「高中數學解題研究會」提供優良的研究平臺及學術氛圍。

感謝周圍對我研究的支持和認可。