常用結論
考點自測
平面向量數量積的運算
思考求向量數量積的運算有幾種形式?
解題心得1.求兩個向量的數量積有三種方法:
(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即a·b=|a||b|cos θ(其中θ是向量a與b的夾角).
(2)當已知向量的坐標時,可利用坐標法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2.
(3)利用數量積的幾何意義.數量積a·b等於a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積.
2.解決涉及幾何圖形的向量數量積運算問題時,可利用向量的加減運算或數量積的運算律化簡.但一定要注意向量的夾角與已知平面角的關係是相等還是互補.
平面向量的模及應用
思考求向量的模及求向量模的最值有哪些方法?
解題心得1.求向量的模的方法:
(1)公式法,利用 (a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的運算轉化為數量積運算;
(2)幾何法,先利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量,再利用餘弦定理等方法求解.
2.求向量模的最值(或範圍)的方法:
(1)求函數最值法,把所求向量的模表示成某個變量的函數再求最值(或範圍);
(2)數形結合法,弄清所求的模表示的幾何意義,結合動點表示的圖形求解.
平面向量數量積的應用
解題心得1.數量積大於0說明不共線的兩個向量的夾角為銳角;數量積等於0說明不共線的兩個向量的夾角為直角;數量積小於0說明不共線的兩個向量的夾角為鈍角.
2.若a,b為非零向量, 則a⊥ba·b=0.
3.求一向量在另一向量上的投影有兩種方法:一是利用向量投影的概念求,二是利用向量的數量積求.
4.解決與向量有關的三角函數問題的一般思路是應用轉化與化歸的數學思想,即通過向量的相關運算把問題轉化為三角函數問題
5.向量在解析幾何中的作用
(1)載體作用:解決向量在解析幾何中的問題時關鍵是利用向量的意義、運算脫去「向量外衣」,導出曲線上點的坐標之間的關係,從而解決有關距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.
(2)工具作用:利用數量積與共線定理可解決垂直、平行問題.特別地,向量垂直、平行的坐標表示對於解決解析幾何中的垂直、平行問題是一種比較可行的方法.
要點歸納小結
1.計算數量積的三種方法:定義、坐標運算、數量積的幾何意義,要靈活選用,與圖形有關的不要忽略數量積幾何意義的應用.
2.利用向量垂直或平行的條件構造方程或函數是求參數或最值問題常用的方法與技巧.
3.向量在三角函數中的應用
對於向量與三角函數結合的題目,其解題思路是用向量運算進行轉化,化歸為三角函數問題或三角恆等變形問題或解三角形等問題.
4.向量在解析幾何中的應用
向量在解析幾何中的應用,主要是以向量的數量積給出一種條件,通過向量轉化,進而利用直線和圓錐曲線的位置關係等相關知識來解答.
5.向量在物理中的應用
物理學中的力、速度、位移都是矢量,它們的分解、合成與向量的加減法相似,因此可以用向量的知識來解決某些物理問題;物理學中的功是一個標量,是力F與位移s的數量積,即W=|F||s|cos θ(θ為F與s的夾角).