巨小鵬
(陝西省漢中市龍崗學校 723102)
摘 要：以2020年新高考和名校聯考試題為例，從不同角度對試題進行思路剖析，對平面向量的四類運算問題做了方法上的梳理，有利於學生知識結構、思維結構和方法體系的構建.
關鍵詞：平面向量；圖形；符號；坐標；平面幾何
平面向量是代數、幾何和三角函數之間的橋梁，集數與形於一體的一種工具.從向量的運算角度看，向量具有較好的代數結構；從幾何角度看，向量是空間最基本原始的幾何量.這使得向量運算都有著其幾何意義，運算律也具有豐富的幾何內涵，如向量的加法用幾何語言描述就是三角形法則或平行四邊形法則；向量加法的交換律是平行四邊形定理的向量表述形式；數乘運算的分配律是相似三角形定理的代數形式；數量積的分配律也是勾股定理代數化的一種表達形式等.平面向量運算內容包括平面向量的加減運算、數乘運算、數量積、向量的模、運算法則、運算性質和幾何意義等.
一、 圖形形式的運算問題例1 (2020年新高考山東卷)已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內的一點，則 的取值範圍是( ).
A.(-2,6) B．(-6,2) C．(-2,4) D．(-4,6)
分析1 可知在方向上的投影的取值範圍是(-1,3)，結合向量數量積的定義式，可知等於的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值範圍是(-2,6).
分析2 過點P作PP′⊥AB於點P′，則
分析3 坐標法也可以，較簡單在此不贅述.
評析 以正六邊形為載體，考查有關平面向量數量積的取值範圍，涉及到的知識點有向量數量積的運算及其幾何意義.
二、符號形式的運算問題例2 (2020年浙江卷)設e1，e2為單位向量，滿足設a，b的夾角為θ，則cos2θ的最小值為____．
分析1 由解得故設e1·e2=x， 則當時，所以cos2θ的最小值是
分析2 設e1，e2夾角為α，由得則
評析 考查了利用模求向量數量積、利用向量數量積求向量夾角、利用函數單調性求最值，考查轉化與化歸思想，考查數學運算、數學建模等學科素養，解題關鍵是合理轉化，應用函數求最值，特別注重基礎.
三、坐標形式的運算問題例3 (2020年北京卷)已知正方形ABCD的邊長為2，點P滿足則____；____．
分析 以點A為坐標原點，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖2所示的平面直角坐標系，則點則點P(2,1)，所以
因此，
評析 考查平面向量的模和數量積的計算，建立平面直角坐標系，求出點P的坐標是解答的關鍵.
例4 (2020年天津卷)如圖3，在四邊形ABCD中，∠B=60°,AB=3，BC=6，且則實數λ的值為____，若M,N是線段BC上的動點，且則的最小值為____．
分析1 因為所以AD//BC，所以解得λ以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸建立如圖3所示的平面直角坐標系xBy，因為BC=6，所以C(6,0).因為|AB|=3,∠ABC=60°，所以點A的坐標為因為則設M(x,0)，則N(x+1,0)(其中0≤x≤5)，所以，當x=2時，取得最小值
分析2 解得令則所以
評析 考查平面向量數量積的計算，考查平面向量數量積的定義與坐標運算.坐標法明顯比較好，運算更加流暢，也容易想到.
四 、平面向量與平面幾何的綜合問題例5 (2020年濱海新區四校聯考)在平面四邊形ABCD中，AB=6,CD=2,AD=2，P為BC中點，若則
A．8 B．6 C．4 D．2
分析1 在AB上取點M，使得連接DM交AC於點N，即所以因為所以所以AC⊥DM.又AM=AD=DC=2，所以∠DAC=∠BAC=∠DCA，AN=NC.所以CD//AB.設則AN=2cosα，AC=2AN=4cosα.所以所以因為P是BC中點，所以又所以
分析2 證得AC⊥DM.又AM=AD=DC=2，所以DM是∠ADC的角平分線.因為所以得即得所以即在△ADM中，由余弦定理可得因為P是BC中點，所以
評析 本題考查向量的數量積，解題關鍵是作圖，在AB上取點M，使得由得出AC⊥DM，利用圖形進行數量積的運算，兩個方法思路大致相同，只是計算角度稍有不同.
不管哪種類型的題，方法的選取無非就是定義法、基向量法、坐標法、幾何意義法，必要的時候構造方程、構造三角形、解三角形等.在學習過程中更要重視一題多解和一解多題的反思性總結.
參考文獻：
[1]劉春豔.聚焦核心素養的單元教學設計——以高中「平面向量的運算」單元為例[J].數學通報，2020,59(07):49-53.
作者簡介：巨小鵬，男，陝西省漢中人，碩士，中學二級教師，從事高中數學教學研究.