七年級一元一次方程應用題

13種一元一次方程應用題

一、工程問題

列方程解應用題是初中數學的重要內容之一，其核心思想就是將等量關係從情景中剝離出來，把實際問題轉化成方程或方程組， 從而解決問題。

列方程解應用題的一般步驟（解題思路）

（1）審——審題：認真審題，弄清題意，找出能夠表示本題含義的相等關係（找出等量關係）．

（2）設——設出未知數：根據提問，巧設未知數．

（3）列——列出方程：設出未知數後，表示出有關的含字母的式子，然後利用已找出的等量關系列出方程．

（4）解——解方程：解所列的方程，求出未知數的值．

（5）答——檢驗，寫答案：檢驗所求出的未知數的值是否是方程的解，是否符合實際，檢驗後寫出答案．（注意帶上單位）

【典例探究】

例1 將一批數據輸入電腦，甲獨做需要50分鐘完成，乙獨做需要30分鐘完成，現在甲獨做30分鐘，剩下的部分由甲、乙合做，問甲、乙兩人合做的時間是多少？

解析：首先設甲乙合作的時間是x分鐘，根據題意可得等量關係：甲工作（30+x）分鐘的工作量+乙工作x分鐘的工作量=1，根據等量關係，列出方程，再解方程即可．
設甲乙合作的時間是x分鐘，由題意得：

【方法突破】

工程問題是典型的a=bc型數量關係，可以知二求一，三個基本量及其關係為：

工作總量＝工作效率×工作時間

需要注意的是：工作總量往往在題目條件中並不會直接給出，我們可以設工作總量為單位1。

二、比賽計分問題

【典例探究】

例1某企業對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了     道題。

解：設這個人選對了x道題目，則選錯了(45-x)道題，於是

          3x-（45-x）=103

              4x=148

解得    x=37

則          45-x=8

答：這個人選錯了8道題.

例2某校高一年級有12個班．在學校組織的高一年級籃球比賽中，規定每兩個班之間只進行一場比賽，每場比賽都要分出勝負，每班勝一場得2分，負一場得1分．某班要想在全部比賽中得18分，那麼這個班的勝負場數應分別是多少？

因為共有12個班，且規定每兩個班之間只進行一場比賽，所以這個班應該比賽11場，設勝了x場，那麼負了（11-x）場，根據得分為18分可列方程求解．
【解析】
設勝了x場，那麼負了（11-x）場．
2x+1•（11-x）=18
x=7
11-7=4
那麼這個班的勝負場數應分別是7和4．

【方法突破】

比賽積分問題的關鍵是要了解比賽的積分規則，規則不同，積分方式不同，常見的數量關係有：

每隊的勝場數＋負場數+平場數＝這個隊比賽場次;

得分總數+失分總數＝總積分;

失分常用負數表示，有些時候平場不計分，另外如果設場數或者題數為x，那麼x最後的取值必須為正整數。

三、順逆流（風）問題

【典例探究】

例1 某輪船的靜水速度為v千米/時，水流速度為m千米/時，則這艘輪船在兩碼頭間往返一次順流與逆流的時間比是（ ）

【方法突破】

抓住兩碼頭間距離不變，水流速和船速（靜水速）不變的特點考慮相等關係．即順水逆水問題常用等量關係：順水路程=逆水路程．

順水（風）速度＝靜水（風）速度＋水流（風）速度

逆水（風）速度＝靜水（風）速度－水流（風）速度

水流速度=(順水速度-逆水速度）÷2

四、調配問題

【典例探究】

例1 某廠一車間有64人，二車間有56人．現因工作需要，要求第一車間人數是第二車間人數的一半．問需從第一車間調多少人到第二車間？

解析：如果設從一車間調出的人數為x，那麼有如下數量關係 

原有人數

現有人數

一車間

64

64-x

二車間

56

56+x

設需從第一車間調x人到第二車間，根據題意得：
2（64-x）=56+x，
解得x=24；
答：需從第一車間調24人到第二車間．

例2 甲倉庫儲糧35噸 ，乙倉庫儲糧19噸，現調糧食15噸，應分配給兩倉庫各多少噸，才能使得甲倉庫的糧食數量是乙倉庫的兩倍？

解析 ：若設應分給甲倉庫糧食X噸，則數量關係如下表

五、連比條件巧設x

【典例探究】

例1. 一個三角形三邊長之比為2：3：4，周長為36cm，求此三角形的三邊長．

解析：設三邊長分別為2x，3x，4x，根據周長為36cm，可得出方程，解出即可．
設三邊長分別為2x，3x，4x，
由題意得，2x+3x+4x=36，
解得：x=4．
故三邊長為：8cm，12cm，16cm．

例2 .三個數的比是5：12：13，這三個數的和為180，則最大數比最小數大（ ）
A．48              B．42
C．36              D．30

解析:此題可設每一份為x，則三個數分別表示為5x、12x、13x，根據三個數的和為180，列方程求解即可．
設每一份為x，則三個數分別表示為5x、12x、13x，
依題意得：5x+12x+13x=180，
解得x=6
則5x=30，13x=78，78-30=48
故選A．

【方法突破】

比例分配問題的一般思路為：設其中一份為x ，利用已知的比，寫出相應的代數式。

常用等量關係：各部分之和=總量。

六、配套問題

【典例探究】

例1 包裝廠有工人42人，每個工人平均每小時可以生產圓形鐵片120片，或長方形鐵片80片，兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶，問每天如何安排工人生產圓形和長方形鐵片能合理地將鐵片配套？

解法1：可設安排x人生產長方形鐵片，則生產圓形鐵片的人數為（42-x）人，根據兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套成一個密封圓桶可列出關於x的方程，求解即可．

設安排x人生產長方形鐵片，則生產圓形鐵片的人數為（42-x）人，由題意得：
120（42-x）=2×80x，
去括號，得5040-120x=160x，
移項、合併得280x=5040，
係數化為1，得x=18，
42-18=24（人）；
答：安排24人生產圓形鐵片，18人生產長方形鐵片能合理地將鐵片配套．

解法2：若安排x人生產長方形鐵片，y人生產圓形鐵片，根據共有42名工人，可知x+y=42.再根據兩張圓形鐵片與一張長方形鐵片可配套可知2×80x=120y，列出二元一次方程組求解。

設安排x人生產長方形鐵片，y人生產圓形鐵片，則有

答：安排24人生產圓形鐵片，18人生產長方形鐵片能合理地將鐵片配套．

【方法突破】

七、日曆問題

八、利潤及打折問題

【典例探究】

例1：（2016•荊州）網際網路「微商」經營已成為大眾創業新途徑，某微信平臺上一件商品標價為200元，按標價的五折銷售，仍可獲利20元，則這件商品的進價為（　　）

A．120元     B．100元

C．80元      D．60元

分析：設該商品的進價為x元/件，根據「售價=進價+利潤」即可列出關於x的一元一次方程，解方程即可得出結論．

解：設該商品的進價為x元/件，

依題意得：（x+20）=200×0.5，

解得：x=80．

∴該商品的進價為80元/件．[來源:Zxxk.Com]

故選C．

例2 （2015•長沙）長沙紅星大市場某種高端品牌的家用電器，若按標價打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元，其利潤率為20%．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那麼獲得的純利潤為（　　）

A． 562.5元        B． 875元

C． 550元          D． 750元

分析：由利潤率算出成本，設標價為x元，則根據「按標價打八折銷售該電器一件，則可獲利潤500元」可以得到x的值；然後計算打九折銷售該電器一件所獲得的利潤．

解答：解：設標價為x元，成本為y元，由利潤率定義得

500÷y=20%，y=2500（元）．

x×0.8﹣2500=500，

解得：x=3750．

則3750×0.9﹣2500=875（元）．

故選：B．

【方法突破】

商品銷售額＝商品銷售價×商品銷售量

商品的銷售總利潤＝（銷售價－成本價）× 銷售量

單件商品利潤＝商品售價－商品進價＝商品標價×折扣率－商品進價

商品打幾折出售，就是按原標價的十分之幾齣售，即商品售價=商品標價×折扣率

九、利率和增長率問題

【典例探究】

例1（2016•安徽）2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，2015年比2014年增長9.5%，若2013年和2015年我省財政收入分別為a億元和b億元，則a、b之間滿足的關係式為（　　）

A．b=a（1+8.9%+9.5%）

B．b=a（1+8.9%×9.5%）

C．b=a（1+8.9%）（1+9.5%）

D．b=a（1+8.9%）2（1+9.5%）

分析：根據2013年我省財政收入和2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，求出2014年我省財政收入，再根據出2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，

即可得出a、b之間的關係式．

解：∵2013年我省財政收入為a億元，2014年我省財政收入比2013年增長8.9%，

∴2014年我省財政收入為a（1+8.9%）億元，

∵2015年比2014年增長9.5%，2015年我省財政收為b億元，

∴2015年我省財政收為b=a（1+8.9%）（1+9.5%）；

故選C．

例2 小明去銀行存入本金1000元，作為一年期的定期儲蓄，到期後小明稅後共取了1018元，已知利息稅的利率為20%，則一年期儲蓄的利率為（ ）
A．2.25%       B．4.5%
C．22.5%       D．45%

解析：設一年期儲蓄的利率為x，根據稅後錢數列方程即可．
設一年期儲蓄的利率為x，根據題意列方程得：
1000+1000x（1-20%）=1018，
解得x=0.0225，
∴一年期儲蓄的利率為2.25%，故選A．

十、方案選擇問題(1)

【典例探究】

例1某家電商場計劃用9萬元從生產廠家購進50臺電視機．已知該廠家生產3種不同型號的電視機，出廠價分別為A種每臺1500元，B種每臺2100元，C種每臺2500元．

（1）若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺，用去9萬元，請你研究一下商場的進貨方案．

（2）若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元，銷售一臺B種電視機可獲利200元，銷售一臺C種電視機可獲利250元，在同時購進兩種不同型號的電視機方案中，為了使銷售時獲利最多，你選擇哪種方案？

解：按購A，B兩種，B，C兩種，A，C兩種電視機這三種方案分別計算，

設購A種電視機x臺，則B種電視機y臺．

（1）①當選購A，B兩種電視機時，B種電視機購（50-x）臺，可得方程

        1500x+2100（50-x）=90000

    即        5x+7（50-x）=300

         2x=50

            x=25

         50-x=25

②當選購A，C兩種電視機時，C種電視機購（50-x）臺，

可得方程    1500x+2500（50-x）=90000

            3x+5（50-x）=180

            x=35

            50-x=15

③當購B，C兩種電視機時，C種電視機為（50-y）臺．

    可得方程   2100y+2500（50-y）=90000

           21y+25（50-y）=900，4y=350，不合題意

由此可選擇兩種方案：一是購A，B兩種電視機各25臺；二是購A種電視機35臺，C種電視機15臺．

 （2）若選擇（1）中的方案①，可獲利

    150×25+200×25=8750（元）

    若選擇（1）中的方案②，可獲利

    150×35+250×15=9000（元）

    9000>8750                   

故為了獲利最多，選擇第二種方案．

【方法突破】

這類問題根據題意分別列出不同的方案的代數式，再通過計算比較結果，即可得到滿足題意的方案，需要注意的是要留意題目中的方案要求，常見的是要求利潤最大，但是有時也有要求消庫存最多或者最節約成本，要注意審題，不可犯慣性錯誤。

十一、方案選擇問題（2）

【典例探究】

例1某班準備購置一些桌球和桌球拍，班主任李老師安排小明和小強分別到甲、乙兩家商店諮詢了同樣品牌的桌球和桌球拍的價格，下面是小明、小強和李老師的對話．
小明：甲商店桌球拍每副定價30元，桌球每盒定價5元，每買一副桌球拍可以贈送一盒桌球．
小強：乙商店桌球和桌球拍的定價與甲商店一樣，但乙商店可以全部按定價的九折優惠．
李老師：我們班需要桌球拍5副，桌球不少於5盒．
根據以上對話回答下列問題：
（1）當購置的桌球為多少盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多？
（2）若需要購置30盒桌球，你認為到哪家商店購買更合算？（要求有計算過程）

【解析】（1）根據題意可設當購買桌球x盒時，兩種優惠辦法付款一樣，列出一元一次方程解答即可．
（2）求出當購買30盒桌球時，甲、乙兩家商店各需要多少元，據此即可解答．
（1）設當購買桌球x盒時，
甲店：30×5+5×（x-5）=5x+125，
乙店：90%（30×5+5x）=4.5x+135，
由題意可知：5x+125=4.5x+135，
解得：x=20；即當購買桌球20盒時，甲、乙兩家商店所需費用一樣多．
（2）當購買30盒桌球時，
去甲店購買要5×30+125=275（元），
去乙店購買要4.5×30+135=270（元），
所以去乙店購買合算．

【方法突破】

解決最佳選擇問題的一般步驟：

1、運用一元一次方程解應用題的方法求解兩種方案值相等的情況；

2、用特殊值試探法選擇方案，取小於（或大於）一元一次方程解得值，分別代入兩種方案中計算，比較兩種方案的優劣後下結論。

十二、分配問題

【典例探究】

例1．學校分配學生住宿，如果每室住8人，還少12個床位，如果每室住9人，則空出兩個房間。求房間的個數和學生的人數。

解：設房間數為x個，則有學生8x+12人，於是

              8x+12=9(x-2)

            解得  x=30

 則            8x+12=252

答：房間數為30個，學生252人。

例2 某工人原計劃在限定的時間內加工一批零件，如果每小時加工10個零件，就可以超額完成3個；如果每小時加工11個零件，就可以提前1小時完成．問這批零件有多少個？按原計劃需多少小時完成？

解析：先設原計劃規定的期限為x小時，由「如果每小時做10個零件，就可以超額完成3個零件」，可知零件的總數是10x-3，再由「每小時做11個零件，就可以提前1小時完成任務」，可知零件的總數是11x-11，由此可得出一個等量關係式10x-3=11x-11，解答出來即可．
設規定的期限為x小時，由題意可得：
10x-3=11x-11，
10x-11x=3-11，
- x = -8，
x=8．
零件的總數是：10x-3=10×8-3=77．
答：這批零件有77個，按原計劃需8小時完成．

【方法突破】

這類分配問題中往往有兩個不變量，一般為參與分配的人數和被分配的物品數量，抓住這兩個不變量，用不同的代數式表示不同的分配方式，然後利用總數相等建立等量關係，問題也就迎刃而解了。

十三、有規律的相鄰數問題

【典例探究】

例1  一組數列1、4、7、10、…，其中有三個相鄰的數的和為66，求這三個數．

解析：觀察數列易得這個數列後面的數比它前面的數大3，設第一個數為x，表示出其餘兩數，根據3個數相加等於66，列出方程，解方程即可．
設第一個數為x，則第二個數為x+3，第三個數為x+6，
依題意有：x+x+3+x+6=66，
解得x=19．
答：這三個數分別為：19、22、25．

例2 有一列數，按一定規律排成1，-2，4，-8，16，-32，…，其中某三個相鄰數的和是3072，則這三個數中最小的數是            ．

解析：觀察數列不難發現後一個數是前一個數的-2倍，然後設最小的數是x，表示出另兩個數，再列出方程求解即可．
∵-2=1×（-2），

4=（-2）×（-2），

-8=4×（-2），

16=（-8）×（-2），

-32=16×（-2），…，
∴設第一個數是x，則後面兩個數分別為-2x，4x，
由題意得，x-2x+4x=3072，
解得x=1024，
即這三個數是1024，-2048,4096．
故最小的數為-2048．

【方法突破】

（1） 首先我們要熟悉數字問題中一些常用的表示：例如n可以表示任意整數，那麼三個連續的整數可以表示為n-1，n，n+1或者n，n+1，n+2等形式；偶數常用2n表示,奇數常用2n+1或2n-1表示。

（2） 如果所給的數列是有一定規律的數列，我們關鍵要找到這列數字的規律，然後用相應的代數式表示出相鄰數，再列方程求解。