萬物皆可梯形公式——魏德武

2022-01-06 掌心數學工作室

魏德武在他讀小學期間曾有許多不為人知的數學傳奇故事。有一天,一位數學老師不知從哪裡得知小魏德武在數字速算方面很有天賦，為了得到證實，於是就親自出了一道「1+2+3+4+----+1000」的計算題，要求小魏德武在半小時內算出準確的答案。結果小魏德武還用不到5分鐘的時間就報出正確的答案：「500500」。老師一聽瞠目結舌，簡直就不敢相信會有如此快的計算速度。

原來小魏德武並不是按傳統的方法去逐個逐個的累加，而是拿一支筆在紙上不停地比劃著，最後將所算的「1+2+3+4+----+1000」自然數依次排列成「梯」字形，然後藉助小學梯形面積公式s=（a+b)÷2×h的基本原理，把1+2+3+4+----+1000」的首數「1」看成是梯形面積上底的長，把尾數「1000」看成是梯形面積下底的長，把所加的「1000」位項數「看成」是梯形面積的高(註：實際排列梯形面積的高等於999)，得：「1+2+3+4+----+1000」=（a+b)÷2×h=(1+1000))÷2×1000=500500」。

據說在魏德武小學還沒有畢業之前，通過小學梯形面積公式s=（a+b)÷2×h和「等式」基本性質的指導思想下，先後成功地解決了，任意「等差」數列(比如：1+3+5+7----）之和的速算通用公式s={2a1+p(n-1)}÷2×n和任意「等比」數列（比如：1+2+4+8----）之和的速算通用公式s=a1(q^n-1)/(q-1)。註：【這裡的a1表示第一項數，n表示項數，p表示等差數，q表示等比數。】同理可得， 像諸如此類的傳奇故事：比如自然數1^2+2^2+3^2+4^2+----+n^2平方和的速算通用公式n(n+1)(2n+1)/6和自然數1^3+2^3+3^3+----+n^3立方和速算通用公式{n(n+1）/2}^2....等等以及勾股定理魏式證法。可以說，對小魏德武來說不勝枚舉！

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