我/與/孩/子/們/的/數/學/
這一次，我與孩子們的數學要記錄的是人教版五下《因數與倍數》單元的一些課堂經歷。想著一課課記錄下來，因此取名《因數與倍數》之旅。希望時間允許，能讓我痛快地記錄。
人教版《因數與倍數》的學習放在五年級下冊第二單元，第一單元是觀察物體。主要內容包括：因數與倍數，2、5、3的倍數特徵，質數與合數等知識。下圖是例1和例2的知識點.
例1是學習因數與倍數的概念。值得關注的是，在早先的電子課本中的因數與倍數的概念與實際紙質版本中的是不一樣的。在電子版本中是這樣說的：在整數除法中，如果商是整數而沒有餘數，我們就說被除數是除數和商的倍數，除數和商是被除數的因數。而在紙質版中是這樣說的：在整數除法中，如果商是整數而沒有餘數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。
和辦公室的徐老師討論過這個問題，我們覺得因數和倍數是描述兩個數之間的關係的，商是整數而沒有餘數這是一個保障的條件，因此，在這個整數除法算式中描述的應該是被除數與除數之間的關係，因此，描述被除數是除數的倍數比較合適。之所以可以說「被除數也是商的倍數」，原因是可以通過算式變形，將除法算式變化為：被除數÷商=除數，因此也可以說被除數是商的倍數，但這個推理成立的前提是前面一個推論成立，因此，兩者一起說是不合適的。當然，這只是我的一種猜測，正確性值得繼續推敲。例2和例3是學會找一個數的因數和倍數，以及通過觀察發現一個數的因數和倍數的特徵。
同樣的，這一次的學習我也是先讓孩子們進行了「預學」，主要設置了三個問題。
問題一：舉例說明什麼是和倍數？這個問題設置的目的讓學生通過看書預習，能夠知道什麼是因數？什麼是倍數？讓孩子通過舉例說明而不是僅僅抄一個概念，是想看看學習的效果如何？
問題二：找一找30的因數和3的倍數，並說一說你有什麼發現？30和3這兩個數這是教材中例子後面設置的小問題。會進行模仿學習也是非常重要的。
問題三：關於因數與倍數你還有什麼疑問？學貴有疑，這是我最喜歡的環節，也是孩子們最喜歡的環節。孩子們總能在這個環節中提出很多精彩的問題，很多值得我們深思的問題。
先整體看幾張孩子們的作品。
這樣的作業確實真的真的很費時間，但每一次當我看到孩子們如此用心地去對待，我總是安慰自己，這樣做是值得的。
細細分析孩子們的作業，孩子們的作品中都有著哪些想法呢？
這是姜開馨同學的預學成果。仔細閱讀她的預學作業，從第一、二兩個問題的回答可以看到，她對於因數與倍數的基本概念已經清楚。從她的問題單我們可以發現，她的問題視角已經涉獵五下的有關因數與倍數的大多數知識點。
楊雅涵同學在她的預學單中想到了用字母描述因數與倍數的方法。
有的孩子是這樣尋找因數和倍數的。這樣不好嗎？我想說，這正是孩子原生態的一種想法，沒有被開發過的思維。
魏湛湛同學用自己的語言去表達的時候，往往是很有創造力的：一個數的因數一定小於等於這個數，一個數的倍數一定大於等於這個數。魏同學還有一個疑問，乘法有因數和因數嗎？多好的問題。
這位孩子對於因數與倍數的想法是自己的猜測，估計沒有看過書。但同樣的，思考過再來學習，就會有不一樣的衝擊力。
很多話，雖然寫在那邊，但對於孩子來說，未必都是理解的。因此，能勇敢地表達自己的「不理解」的孩子，真的很勇敢，也很真誠。
好了，作業分析得差不多了，上課吧！
我們的課堂
第一環節：同桌交流自己舉的例子，然後集體交流五個式子，說一說，誰是誰的因數，誰是誰的倍數。同桌交流環節，我會針對性的走訪幾組同桌，看看這幾個孩子的理解是否正確？（2）中的這五個例子是為了檢查孩子的自學效果，抽專人回答，9÷5=1.8是一個反例。第3、4個環節是對概念的初步揭示，以及因數倍數的本質的體會：兩個數之間的關係。
第二頁中我們繼續以例子來說話，但是形式在不斷變化。第一個例子，通過63÷9=7這個算式，讓孩子們來說兩組因數與倍數的關係。尤其是第二組，讓學生說出理由為什麼。因為從這個除法算式，我們可以知道：63÷7=9.這是理由，7是63的因數，63是7的倍數這是描述的結論。同時體會到：「9是63的因數，63是9的因數。7是63的因數，63是7的倍數」這兩句話描述的對象是不同的。
第二個例子是到乘法算式去尋找因數與倍數的關係。並讓孩子原因是什麼？讓孩子把這個乘法算式可以寫成相應的除法算式，始終圍繞著因數與倍數的概念來說理。
第三個例子是75和25，沒有算式了，還能說關係嗎？層層遞進。
第四個例子，是一些特殊數的例子。21是21的倍數，21是21的因數，1是1的因數，1是1的倍數，像這樣的例子，是學生很少會去關注和想到的。21÷21=1,這個例子其實教材的例1中就有，1÷1是我自己補充的。所以，仔細讀教材還是很有意義的。同時，在這裡，我們也補充了代數式的描述。
通過這四個例子，學生對於「在整數除法中，如果商是整數而沒有餘數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。」這句話的理解才不會幹巴巴，才是生動而活潑的。
課的第三個環節是：因數與倍數來自何方？這是我一直堅持的一個做法，讓孩子簡單的看看這一塊知識在哪裡？這些資料來自網絡，準確性僅供參考。雖然這些「名詞」非常冰冷，但是我想讓孩子們感受到的是這樣一張網，因數與倍數是在整個體系中的一個點，而不是孤立的。
兩幅作品的對比，是想讓孩子看到不同的想法的價值。方法的價值在於她的嚴謹，在於她對於概念的理解。原創的也許複雜，但同時也珍貴。這個環節的第二個目的是：學會評價。孩子往往只會一維的評價，好與不好，而缺少一種辯證的評價，好的地方在哪裡，不足的地方在哪裡。我想，這樣的學習可以幫助孩子慢慢建立起這樣的思維習慣。
研讀了別人的方法後，我們就可以自己來試試了。
尋找三組數的因數與倍數，熟練方法，掌握技巧，然後觀察發現。然後用代數式提升，總結。
課的最後環節是答疑解惑。對一些常見的錯誤和疑問進行解答。同時，這些疑問的回答也是對這堂課學習效果的評價，可以評價出孩子們對於今天這堂課的學習效果。
本來還想放張板書的照片，可以手機裡一找，居然沒有找到。難道是忘記拍了？好吧！忘記就忘記吧！
第一篇的記錄就到這裡了。
春日不可辜負，曬太陽去了！凍僵了凍僵了！