二階變係數齊次線性常微分方程(特、通)解與係數的關係

2021-02-08 吾愛吾150

按：這是本人第一篇學術論文，是在孫仁斌先生的指導下完成的本科畢業論文。是全原創的，想法源於1995年肖建海老師所提到的與一元二次方程類比的想法，問題的解決源於山窮水盡之際在圖書館裡找到的一本白色封面的日本的常微分方程習題集中的一道題得到的啟發。當年獲得校優秀畢業論文，10年後發表於《孝感學院學報》上。


從當年畢業在孝感師專與孝感高中之間選擇了後者後，人生蹉跎二十餘年，與學術越來越遠，幾近絕緣，愧不自已。謹在此表達對於恩師嶽新年先生深切的懷念，既沒有如他老人家所願成為茆詩松、顏日初的弟子，在學術上登堂入室，又沒有像他老人家那樣成為生所景仰和愛戴的師者，更沒有像他所言「傳承大愛」，實不堪之人...



二階變係數齊次線性常微分方程

（特、通）解與係數的關係

張紅兵,嶽新年


摘  要：本文探索了某些特殊類型二階變係數齊次線性常微分方程的解與係數的廣義關係；嘗試從理論上給出通解的一般形式和特解的係數決定式。


關鍵詞：變係數齊次方程  解與係數 通解  特解

中圖分類號：O175.1           文獻標識碼:A

 

眾所周知，對二階變係數齊次線性常微分方程，我們僅只限於一些極特殊的類型，方法也僅限於先用觀察法、代換法找出特解進而利用柳微爾（Liouville）公式給出通解.但可解類型很少，過程繁瑣.有無一種對一類方程既快捷又可靠的解題方法？本文試從理論上初步探討這一問題。

1  約定

1.1 對所討論問題的特解均約定其常係數部分為1（否則視為同一解）.

1.2 均假定係數滿足進行運算所需要的分析性質，必要時假定滿足一些其它性質.但行文時不另指出.

1.3 在一個問題上已達成共識：對一般的方程而言，其兩線性無關特解一般不能由其係數唯一決定.

1.4 本文不再驗證特解之線性無關性，且文中的等式皆是對論域中的任意自變量成立.




5  結束語

Liouville公式與Vieta定理相類似，它建立了變係數線性常微問題的解與係數的關係，在線性方程理論研究及求解方法中均有重要應用.但由於常微問題的個性，其解在一般情形下不能用初等函數表示，這就妨礙了對其解及性質的進一步研究.本文在特殊函數類的解與係數關係方面作出了一些探索.雖然常微問題的特殊性決定了其根與係數的關係不能如Vieta定理那麼經典，但在加一定限制條件下仍是可行的，而且解與係數的關係也不僅限於中學階段的「狹義」.










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