歐拉恆等式

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偉大的數學家歐拉的名字總是離不開我的視野。今天介紹一個恆等式，又是以他的名字命名的。它的一邊是一個無窮乘積（用「∏」表示），另一邊則是一個無窮級數（用「∑」表示）。完全不同的兩種運算竟然相等！很神奇。這個恆等式就是

它是偉大的歐拉發現的，所以現在被我們稱作歐拉恆等式。其中，x>1。而其中的pk(k是p的下標，k=1,2,3,··· )是從2開始順序排列的全部素數，即p1=2, p2=3, p3=5, p4=7, p5=11, ··· 。上式簡練但也就很抽象。我覺得還是應該寫得具體一些好理解，即

我們知道，素數集合是正整數集合的真子集，而歐拉恆等式另一神奇之處是，它的一端出現了全部素數，而另一端則出現了全部正整數。歐拉恆等式把素數與正整數有機地聯繫在了一起。數學真是很神奇，但主要還是偉大，表達方式上卻又是那麼的簡潔。數學符號及數學公式的使用標誌著數學的精確美和簡潔美。但更加重要的是，公式中蘊藏著豐富的知識、規律和思想。

歐拉恆等式中我們規定x>1。這是因為在0<x≤1時，(1)式或(2)式的右端的無窮級數是發散的。特別地，當x=1時，右端的無窮級數就是著名的調和級數：

當x>1時，級數是收斂的。那麼，依x值的不同，這個級數的和也會有所不同，於是，就得到了所謂的黎曼ζ函數：

黎曼函數ζ(x)在數論中起著重要作用。至今未被解決的著名的黎曼猜想也與這個函數有關。

下面我們就來證明歐拉恆等式。我們從下面的恆等式出發：

這個恆等式還是很顯然的，因為

【n=1時，就是平方差公式：1－q^2=(1－q)(1＋q)。】

在q不等於1的情況下，上式可以寫為下式，即首項為1，公比為q的等比數列求和公式：

考慮0<q<1。於是，當n→∞時，等比級數收斂，即

把上式等號左右兩邊對調，得

取q為第一個素數2的倒數的x次方(x>1)，它當然小於1。於是可以應用(4)式，便得到：

把x放到外層，得

( 注意，公式中最後的三點不能少。)

同理，取q為第二個素數3的倒數的x次方(x>1)，得

············

取q為第k個素數pk的倒數的x次方(x>1)，得

············

( 注意，上面第一個12點「············」不能省，因為它代表中間省略無窮多個式子；同樣上面第二個12點「············」也不能省，因為它代表著後面還有無窮多個式子。)

把上面這無窮多個式子相乘，左邊相乘得到歐拉恆等式的左邊，這沒有問題，很容易理解。但右邊為何無窮多個無窮級數的乘積正好就是黎曼ζ函數，這個稍微有些費解。我來幫助您疏理。

我們寫出有限的情況進行討論，然後，無限情況您就應該能夠理解了。（我自己就是經常用筆在紙上或本子上書寫數學公式，把公式弄明白為止。）

我們先只取前三個素數：2, 3, 5。於是有：

首先需要說明，三式相乘，所得結果中的每一項，都一定是每一式中取一項進行相乘的結果。(5)式的每一項與(6)(7)兩式的第一項相乘，仍為(5)式的每一項，所以，(5)式中的每一項必將全部成為黎曼ζ函數的項。同理，(6)(7)兩式中的項也全部都成為黎曼ζ函數的項。觀察一下這些項，它們的分母中，要麼是素數2,3,5的x次方，要麼是2,3,5的n(2,3,4,···)次方的x次方。那麼，我們來看一看，正整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,···中比較小的那些，哪些沒有出現。1,2,3,4,5,8,9,16都有了。首先沒有6，那麼這個「6」從哪裡得來呢？很顯然，(5)式的第二項與(6)式的第二項相乘再乘以(7)式的第一項「1」，得到的數的分母中就會出現6。分母是6的x次方的項只出現這麼一次。然後是7。7是第四個素數，那麼，如果我們取的是四個素數，那麼，分母中為7的x次方的項一定會出現在黎曼ζ函數中。接著是「10」，它是「2」與「5」的乘積，那麼不難看出，10的x次方出現在(5)式第二項與(7)式第二項及(6)式第一項的乘積的分母中。好的，這樣一個個解釋太過麻煩。您還記得我之前講過的素數基本定理嗎？是的，這個定理是說，任何一個正整數都能唯一地寫成若干個素數的乘積的形式(不考慮素數的順序)。所以，如果pk取遍所有素數，那麼，無窮多個無窮級數的乘積的每一項的分母中，將出現並遍及全部正整數。比如，黎曼ζ函數中的項「1/(36^x)」，它的分母中的「36」是「(2^2)·(3^2)」，第一個標黑的「2」說明「36」首先來自(5)式，標黑的「3」說明「36」還來自(6)式，並且我們確實可以在(5)式中找到「2^2」，在(6)式中找到「3^2」。那麼最終，我們便證明了那無窮多個無窮級數的乘積正好就是黎曼ζ函數。於是，我們就證明了歐拉恆等式的成立，即：

或

歐拉利用這個公式又一次證明了素數有無窮多個。這是因為，上式對x=1(甚至對0<x<1)也是成立的，即

上式右端就是著名的調和級數，它是發散的。假如素數個數是有限的，則上式左端分母就是一個確定的數，左端當然也是一個確定的數，這與右端是發散級數相矛盾。所以，反證出素數有無窮多個。我以前講過，古希臘時期人們就用一種非常簡單的方法證明了素數有無窮多個。歐拉又為我們提供了這另一種方法。

x在實數範圍內取值時的ζ函數有時人們稱其為歐拉ζ函數；而定義域為複數時，ζ函數稱作黎曼ζ函數。但也有的書對它們的區分不是很明確。今天就講到這裡吧。

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