如何用最簡單的方式理解歐拉恆等式?

2021-02-18 Mr. Why說數學

之前解釋過歐拉對著名的哥尼斯堡七橋問題的解釋,也探討了著名的皮克定理是如何發現、探索、猜想和證明的,那麼今天我們就來學習另一個相關的知識「歐拉恆等式」(Euler’s Formula)。

我曾經讓高年級孩子們填過一個表格,關於「柏拉圖立體(Platonic Solids)」的。如下圖所示:

 


表格後面的幾個問號需要用到組合數學的知識,具體我就不解釋了,大家看下圖就可以,這裡省裡五百字。比如說:

然後我把表格填完整,得到下圖,問大家從表格裡發現了什麼?

有一些觀察力強的孩子發現了一個有趣的規律,即:頂點數+面數-邊數=2。這就是著名的歐拉恆等式「V+F-E=2」。

今天我們重點來解釋一下,為什麼歐拉恆等式永遠是成立的,不僅平面上成立,而且在立體圖形上同樣是成立的。

 

第一部分:平面上的證明

 

對於任意的平面圖形而言,都是由有限的「邊」(edges)、「頂點」(vertices)和「面」(faces)所組成。這是這個問題的一個起點,關於這個起點大家應該沒有什麼異議吧,否則我們就沒法說下去了。

這裡有3個面(或者說「區域」),有4個頂點,還有5條邊,頂點數+面數-邊數=4+3-5=2。歐拉恆等式成立。

要證明歐拉恆等式在平面上成立,我們可以通過數學歸納法。

第一步:計算只有一個頂點而沒有任何邊長時的V+F-E,答案是2。

第二步:從一個頂點變為一條線段,即加上一個頂點和一個邊長後,再次計算V+F-E,答案還是2。因為我們分別增加了一個頂點與一條邊,互相抵消了。

第三步:當我們只增加一條邊,但不增加頂點時,分別計算圖形增加邊長前後的V+F-E,答案依舊是2。因為雖然只增加了一條邊,但沒有增加頂點,但因此產生了一個區域,新增加的邊長數與新增加的區域數又一次互相抵消了。

第四步:用以上步驟給任何平面且相互連接的圖形增加邊或者頂點,分別計算V+F-E。

第五步:任意畫幾個圖形,並加入一些邊或者頂點,分別計算增加邊或者頂點後的V+F-E。

當你只增加一條邊時,就會同時增加一個區域;當你增加一個頂點時,你就必須增加原圖形的邊。因此,在構建平面並且互相連接圖形的每一個步驟中,都是V+F-E=2。

證明完畢。

 

第二部分:立體圖形上的證明

 

我們以常見的立方體為例。

這裡需要說明的是:在立體圖形上,我們只計算這個立體圖形本身所有的「面」,外部空間本身不屬於我們考慮的範圍。這一點與平面圖形是有區別的,讀者朋友可以自己想一想為什麼?

第一步:先取其中一個面進行計算,V+F-E=4+1-4=1。沒錯,最後等於1,不是2。

第二步:將兩個面合起來進行計算,當兩個面合起來的時候,相鄰的4個頂點和2條邊消失了,所以最後其實和上一步是一樣的,即:V+F-E=4+1-4=1。

第三步:繼續,在上一步的基礎上再合併一個面。同理可得,V+F-E=4+1-4=1。

第四步:當我們把六個面都按照立方體的展開圖合併後,如下圖所示:

經過計算可得:V+F-E=12+1-12=1。

第五步:把其中兩個面折起來。我們發現,在組合這個展開的圖形時,每次都會使得頂點和邊各減少1,所以V+F-E=1不變。

直到最後一個面進行組合復原時,會導致頂點減少2、邊減少3。

因此,歐拉恆等式證明完畢。

 

這是一堂很適合與孩子們一起探索發現並進行數學歸納法證明的課,希望大家可以發現一些數學探索的樂趣。

延伸閱讀:

相關焦點

  • 歐拉恆等式 - 上帝創造的公式
    其中當x=π時,變成eiπ+1=0,稱為歐拉恆等式,被數學界譽為「數學中的天橋」,更被數學家們評價為「上帝創造的公式」。大家是不是好奇發現了這個偉大公式的歐拉到底是個什麼樣的人?歐拉恆等式;41歲出版《無窮分析引論》(對數學影響最大的七部名著之一);43歲給出多面體公式(拓撲雛形);48歲出版《微分學》;歐拉平均每年寫出八百多頁的論文,還寫了大量的力學
  • 《後浪》刷屏|智能家居技術「前浪」解讀「歐拉恆等式」
    就寫兩個題目:分別是號稱最美數學公式的歐拉恆等式,和號稱最美物理公式的麥克斯韋方程。選擇它們的原因有二:一是它們確實充滿美感,似乎觸及了上帝的心思。二是我是最近才搞明白這些事情,寫個筆記記錄下來。從微積分到歐拉恆等式歐拉恆等式就長這個樣子。很簡單的一個式子,聯繫了1,0,虛數單位i,和兩個超越數e和π。沒有多餘的東西。歐拉恆等式從哪來的呢?它從歐拉公式來。歐拉公式又從哪來的呢?它從連續函數的泰勒展開來。泰勒展開又從哪來的呢?它從函數的微分來。
  • 歐拉恆等式:完美的數學公式
    萊昂哈德•歐拉是18世紀最偉大的數學家之一,也是人類歷史上最傑出的數學家之一。
  • 歐拉恆等式:數學史上的真正完美公式!
    歐拉在失明之後還打趣地說:「現在我就更不會分心了。」 以勤奮著稱的歐拉,用他那驚人的記憶和心算能力彌補了視力的喪失。在歐拉一生豐碩的成果中,有一個以他名字命名的公式被譽為「上帝創造的公式」,那就是歐拉恆等式。
  • 歐拉恆等式
    偉大的數學家歐拉的名字總是離不開我的視野。今天介紹一個恆等式,又是以他的名字命名的。它的一邊是一個無窮乘積(用「∏」表示),另一邊則是一個無窮級數(用「∑」表示)。完全不同的兩種運算竟然相等!很神奇。這個恆等式就是它是偉大的歐拉發現的,所以現在被我們稱作歐拉恆等式。其中,x>1。
  • 如何通俗地解釋歐拉公式(e^πi+1=0)?
    歐拉公式,被譽為上帝公式, e、 i 、 pi 、乘法單位元1、加法單位元0,這五個重要的數學元素全部被包含在內,在數學愛好者眼裡,仿佛一行詩道盡了數學的美好。歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域,建立和三角函數和指數函數的關係,被譽為「數學中的天橋」。形式簡單,結果驚人,歐拉本人都把這個公式刻在皇家科學院的大門上,看來必須好好推敲一番。
  • CICC科普欄目|如何通俗地解釋歐拉公式(e^πi+1=0)?
    歐拉公式將指數函數的定義域擴大到了複數域,建立和三角函數和指數函數的關係,被譽為「數學中的天橋」。形式簡單,結果驚人,歐拉本人都把這個公式刻在皇家科學院的大門上,看來必須好好推敲一番。在進入歐拉公式之前,我們先看一些重要的複數概念。
  • 向量專題中極化恆等式的應用2
    之前寫過一篇極化恆等式的小專題,連結為解析考前訓練7.用極化恆等式解決向量數量積取值範圍問題,本次內容為極化恆等式的一些補充。題目的關鍵在於理解條件中的恆成立條件,用極化恆等式展開後可得到|PM|≥|P0M|恆成立,加之P0為定點,P為動點,則MP0⊥AB,即可確定出三角形的形狀,在向量題目中這種恆成立的條件經常遇到。
  • 歐拉公式——真正的宇宙第一公式
    歐拉公式是數學裡最令人著迷的公式之一而且,這個公式對物理學影響也非常巨大,如機械波論、電磁學、波動光學、量子力學等匍匐在她的腳下;難怪物理學家查德·費曼驚呼:歐拉恆等式不但是「數學最奇妙的公式」,也是現代物理學的定量之跟,因為她把最基本的5個數學常數簡潔地連繫起來,而且也將物理學中的圓周運動、簡諧振動、機械波、電磁波、概率波等聯繫在了一起.
  • 數學大神歐拉的成名之作,它又被譽為上帝公式,連高斯都敬佩不已
    歐拉恆等式是人類在數學界的探索中能夠尋找到的最美麗的「鑽石」之一,它無比的簡潔和至深的含義讓很多數學家把歐拉恆等式稱之為「上帝公式」意為只有上帝才能寫出這樣的公式。   歐拉恆等式的價值在於它把數學最基本的五個數學常數聯繫在一起,讓人類看到了數學規律最底層的聯繫,這樣的聯繫從理論上來說還有很多,但是現在人類能夠發現的只有歐拉公式這一個。
  • 論數學之美——歐拉及其對著名的巴塞爾問題的精確解(推導)
    被稱為「自古以來最偉大的數學家」本文將描述瑞士數學家萊昂哈德·歐拉如何解決著名的巴塞爾問題。圖4:歸一化和非歸一化sinc(x)函數(分別用藍色和紅色表示)為了理解這一點,考慮一下,例如,下面的四次多項式寫成因式分解形式:
  • 高斯說,如果不能一眼看出歐拉公式,永遠成不了一流的數學家
    歐拉公式歐拉方程是迄今為止最美麗的數學公式。它簡單、優雅,匯集了一些最重要的數學常數,並有奇怪的數學和物理解釋。讓我們仔細檢查一下。在這篇文章中,我們將試著揭開歐拉身份的神秘面紗,並展示它的神奇之處。在那之前,讓我們看看這個公式是怎麼來的。歐拉恆等式的歷史。1714年,英國物理學家和數學家羅傑·柯特用一個公式建立了對數、三角函數和虛數之間的關係。
  • 高中數學:輕鬆搞定平面向量技巧極化恆等式
    首先,我們來了解一下極化恆等式是什麼?怎麼用?極化恆等式是聯繫內積與範數的一個重要的等式,是用範數表示內積的公式。即(x,y)=1/4(||x+y||~2+||x-y||~2),由於範數本身就是有關矢量的函數,因此泛函數分析中的極化恆等式就可以遷移到高中平面向量中,得到高中階段學生可理解的極化恆等式,以此來達到快速解題的目的。簡單歸納:
  • 讓我們一步步求解:歐拉對數正弦積分
    讓我們來發現巧妙而又簡單的歐拉對數正弦積分的解首先我們假設該積分等於I我們的方法是證明I滿足方程I=2I,這當然意味著從兩邊減去I後I=0。要做到這一點,我們需要找到一種巧妙的方式來表示I。關鍵的是將巧妙地使用sin(x)、cos(x)和log(x)的行為。
  • 數學界最著名、最偉大、最美麗的公式之一——歐拉公式
    在這篇文章中,我們將探索歐拉公式,解釋它是什麼,它從哪裡來,並揭示它神奇的性質。歐拉公式是什麼?歐拉公式是歐哈德·歐拉在十八世紀創造的,是數學界最著名、最美麗的公式之一。之所以如此,是因為它涉及到各種顯然非常不同的元素,比如無理數e、虛數和三角函數。
  • 數學新視野:歐拉公式下你意想不到的結論
    要證明上面的恆等式,聰明的你可能很快想到一個與複數,自然數有關的公式,沒錯這就是著名的歐拉公式,ln(i)=iπ/2可以理解為e^(iπ/2)=i,這裡的角度是θ=π/2,所以就得到了上述的結論,這比較簡單其次:我們對如下公式都已經很了解了,e^iπ表示繞原點逆時針旋轉了
  • 教學研討|5.5.2 簡單的三角恆等變換(2019版新教材)
    本節內容都是用例題來展現的.通過例題的解答,引導學生對變換對象和變換目標進行對比、分析,促使學生形成對解題過程中如何選擇公式,如何根據問題的條件進行變形,以及變換過程中體現的換元、逆向使用公式等數學思想方法的認識,從而進一步理解變換思想,提高學生的推理能力、數學運算素養.      教科書中把三角恆等變換的應用放在三角變換與三角函數間的內在聯繫上。從而使三角函數性質的研究得到延伸。
  • 透過數學檯曆看數學(2018.3.1) - 歐拉恆等式
    就是數學中最美麗的數學公式: 歐拉恆等式. 這條恆等式第一次出現於1748年萊昂哈德·歐拉在洛桑出版的書《Introductio》。這是複分析的歐拉公式的特殊情況。理察·費曼稱這恆等式為「數學最奇妙的公式」,因為它把5個最基本的數學常數簡潔地連繫起來: 0, 1(自然數的基本單位), e(描述變化率的自然指數), π 以及 i(虛數的基本單位).
  • 數學界的老師-歐拉|偉大的數學大師系列
    (推薦觀看這個視頻:《數學家的故事 歐拉》)歐拉13歲時作為全校年齡最小的學生進入了巴塞爾大學,主修哲學和法律, 但是每周都會跟當時歐洲最優秀的數學家, 也是他父親最好的朋友約翰·伯努利(Johann Bernoulli)學習數學.
  • 歐拉公式,複數域的成人禮
    來看看之前的數域是怎麼擴張的吧。這個問題可以用歐拉公式: 函數,起碼有三種定義方式:從這三種定義出發都可以得到歐拉公式。3.1.1 極限的方式因為:這裡是理解歐拉公式的 關鍵 ,我們要意識到一點,歐拉公式是一種人為的選擇,完全可以不這麼去定義