之前解釋過歐拉對著名的哥尼斯堡七橋問題的解釋,也探討了著名的皮克定理是如何發現、探索、猜想和證明的,那麼今天我們就來學習另一個相關的知識「歐拉恆等式」(Euler’s Formula)。
我曾經讓高年級孩子們填過一個表格,關於「柏拉圖立體(Platonic Solids)」的。如下圖所示:
表格後面的幾個問號需要用到組合數學的知識,具體我就不解釋了,大家看下圖就可以,這裡省裡五百字。比如說:
然後我把表格填完整,得到下圖,問大家從表格裡發現了什麼?
有一些觀察力強的孩子發現了一個有趣的規律,即:頂點數+面數-邊數=2。這就是著名的歐拉恆等式「V+F-E=2」。
今天我們重點來解釋一下,為什麼歐拉恆等式永遠是成立的,不僅平面上成立,而且在立體圖形上同樣是成立的。
第一部分:平面上的證明
對於任意的平面圖形而言,都是由有限的「邊」(edges)、「頂點」(vertices)和「面」(faces)所組成。這是這個問題的一個起點,關於這個起點大家應該沒有什麼異議吧,否則我們就沒法說下去了。
這裡有3個面(或者說「區域」),有4個頂點,還有5條邊,頂點數+面數-邊數=4+3-5=2。歐拉恆等式成立。
要證明歐拉恆等式在平面上成立,我們可以通過數學歸納法。
第一步:計算只有一個頂點而沒有任何邊長時的V+F-E,答案是2。
第二步:從一個頂點變為一條線段,即加上一個頂點和一個邊長後,再次計算V+F-E,答案還是2。因為我們分別增加了一個頂點與一條邊,互相抵消了。
第三步:當我們只增加一條邊,但不增加頂點時,分別計算圖形增加邊長前後的V+F-E,答案依舊是2。因為雖然只增加了一條邊,但沒有增加頂點,但因此產生了一個區域,新增加的邊長數與新增加的區域數又一次互相抵消了。
第四步:用以上步驟給任何平面且相互連接的圖形增加邊或者頂點,分別計算V+F-E。
第五步:任意畫幾個圖形,並加入一些邊或者頂點,分別計算增加邊或者頂點後的V+F-E。
當你只增加一條邊時,就會同時增加一個區域;當你增加一個頂點時,你就必須增加原圖形的邊。因此,在構建平面並且互相連接圖形的每一個步驟中,都是V+F-E=2。
證明完畢。
第二部分:立體圖形上的證明
我們以常見的立方體為例。
這裡需要說明的是:在立體圖形上,我們只計算這個立體圖形本身所有的「面」,外部空間本身不屬於我們考慮的範圍。這一點與平面圖形是有區別的,讀者朋友可以自己想一想為什麼?
第一步:先取其中一個面進行計算,V+F-E=4+1-4=1。沒錯,最後等於1,不是2。
第二步:將兩個面合起來進行計算,當兩個面合起來的時候,相鄰的4個頂點和2條邊消失了,所以最後其實和上一步是一樣的,即:V+F-E=4+1-4=1。
第三步:繼續,在上一步的基礎上再合併一個面。同理可得,V+F-E=4+1-4=1。
第四步:當我們把六個面都按照立方體的展開圖合併後,如下圖所示:
經過計算可得:V+F-E=12+1-12=1。
第五步:把其中兩個面折起來。我們發現,在組合這個展開的圖形時,每次都會使得頂點和邊各減少1,所以V+F-E=1不變。
直到最後一個面進行組合復原時,會導致頂點減少2、邊減少3。
因此,歐拉恆等式證明完畢。
這是一堂很適合與孩子們一起探索發現並進行數學歸納法證明的課,希望大家可以發現一些數學探索的樂趣。
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