抽樣分布之T分布

2021-02-19 生活統計學


以下文章內容，來自草堂君的新書《人人都會數據分析-從生活實例學統計》。因為新書中增添和細化了很多知識點，所以草堂君會逐步將這些內容補充到統計基礎導航頁中來，幫助大家建立數據分析思維。限於篇幅，只截取書中部分內容。

基礎準備

之前的幾篇統計基礎文章，草堂君介紹了抽樣分布的概念及Z分布的內容，大家可以點擊下方文章連結回顧：

從「均值抽樣分布適用條件表」可知，Z分布只能覆蓋部分均值抽樣分布的情況，它特別適合總體標準差已知的正態分布總體或樣本容量大於30的任意分布總體的抽樣情況。對於總體標準差未知的情況，我們引入另一個重要的均值抽樣分布類型：T分布。今天草堂君將向大家介紹第二種常用的抽樣分布T分布的含義及作用。

T統計量

在介紹T分布的概率密度函數之前，需要明確該函數的隨機變量，即統計量。回顧Z統計量，因為Z分布實質上是標準正態分布，所以Z統計量的計算公式就是普通正態分布轉換成標準正態分布的公式：

T統計量在結構上與統計量類似，只不過成分稍有不同：

對比Z統計量和T統計量的計算公式可知，Z統計量需要事先知道總體的標準差，而T統計量只需要知道樣本標準差即可，因此T分布能夠覆蓋Z分布不能覆蓋的部分。現實情況中，總體標準差往往難以求取，因此T分布的應用範圍比分布更廣。

T分布的定義

如果已知等待分析的總體服從正態分布，從總體中抽取容量為n的所有可能樣本，對每個樣本都計算出它們相應的T統計量，則所有T統計量的值將組成一個連續型概率分布，這個分布就是T分布，T分布的概率密度函數為：

從T分布的概率密度函數可以知道T分布也是一個概率分布族，每個自由度對應一個分布曲線。如下圖所示，所有T分布曲線都呈倒置的鐘形，並且關於y=0的縱軸對稱，T分布曲線從負無窮到正無窮無限延伸，且越來越接近於x軸，但永遠不會與x軸相交。隨著自由度的增大，分布曲線逐漸靠近於標準正態分布曲線，當自由度等於或大於30時，T分布曲線已經幾乎與標準正態分布曲線重合。普遍認為自由度等於30是T分布與標準正態分布能夠相互替代的分界點，自由度小於30時，T分布與標準正態分布相差較大。

自由度的含義

T分布的自由度與樣本標準差的自由度一樣，都等於樣本容量減去1，即v=n-1。自由度為什麼等於樣本容量n減去1呢？這個問題相信困擾了很多學習數據分析的朋友，在這裡我們做出解釋。自由度指的是計算統計量時用到的無限制、可以自由變換的數值個數。如下圖（左）所示，如果已知樣本容量為5的樣本均值等於6，那麼前4個樣本個案都是可以自由變換的，但是一旦前4個樣本個案的數值被確定（下圖確定了前四個樣本個案的數值分別為9,7,3,2），那麼第5個樣本個案就不能夠自由變換了，它需要滿足最後的均值等於6，因此第5個樣本個案就只能等於9。樣本均值使樣本的自由度由5減少到4。樣本標準差的自由度等於n-1也是這個道理。如下圖（右）所示，因為計算樣本標準差前，需要先使用n個樣本個案計算樣本均值，待到再次用這n個樣本個案計算樣本標準差時，必然有一個樣本個案不能自由變換，所以樣本標準差的自由度等於n-1。同樣的原理，計算T統計量時，需要用到樣本標準差，所以T統計量的自由度和樣本標準差一樣，都等於樣本容量減去1。

均值抽樣分布適用條件表

綜上所述，可以這樣定義T分布：如果總體服從正態分布，總體標準差未知，樣本容量小於30，那麼樣本均值的抽樣分布服從T~t(n-1)的T分布；如果總體服從正態分布，總體標準差未知，樣本容量大於30時，那麼樣本均值的抽樣分布不僅服從T~t(n-1)的分布，而且還可以用Z分布來近似表達。根據T分布的特性，可以繼續完善「均值抽樣分布適用條件表」。

T分布的作用

從T統計量的計算公式可知，T分布能夠在部分已知條件下，用於總體均值的推斷分析，它與Z分布是適用範圍互相補充的關係。接下來會具體介紹如何使用Z分布和T分布進行總體均值的推斷分析。

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