用物理數學的方法求π的值

2020-09-03 秋天的金槍魚

第一部分：動能、動量守恆

如圖所示（圖1），

圖一

在一個水平光滑的平面上，有兩個質量分別為m₁,m₂的物體分別以v₁,v₂的速度進行運動（m₁m₂為定值），則可知兩物體的總動能為EK=½m₁·v₁²+½m₂·v₂²，總動量為p= m₁·v₁+m₂·v₂，如果這兩個方程放入平面直角坐標系，那麼我們能得到一個橢圓和一條直線，為了能夠引入π這個值，我們令x=√(m₁) v₁，y=√(m₂) v₂，則我們可以得到方程組（圖二）

圖二

放入平面直角坐標系中可以得到（圖三）。

圖三

動量方程式的斜率k=-√（m₁/m₂）。易知，由於動量動能要同時滿足「守恆」條件，所以物體運動狀態只可能是圖中的點A或點B，當物體以A點的運動狀態運動並且發生碰撞時，運動狀態會改為B點，反之會從B點變為A點。

第二部分：物塊撞擊分析

如圖所示（圖四），

圖四

質量為m₁的物體以v₁的速度撞擊靜止且質量為m₂的物體（m₁>m₂），將質量為m₁的物體稱為A，質量為m₂的物體稱為B，兩個物體會繼續運動，直至兩物體全部往右邊運動且A此時的速度大於B此時的速度，計算兩個物塊相互的撞擊次數與B撞牆的次數。首先一開始，B的速度為0，所以此時的y=0，則運動狀態為如圖所示（圖五）的A點，

圖五

兩個物體第一次撞擊後運動狀態改為B點。接著B將會和牆相撞，此時由於速度是矢量且物體B被反彈，速度大小不變方向相反，所以v₂取相反數，v₁不變，所以運動狀態改與與B關於x軸對稱的C點（圖六）。

圖六

接著A再次與B相撞時，由於斜率沒變，所以會碰撞至D點。同理再次作對稱點，這樣操作幾輪後，如圖（圖七），

圖七

當直線與圓只有一個交點的時候，碰撞結束。

第三部分：求出物塊撞擊次數

如圖所示（圖八），

圖八

過A點作圓的切線，令∠EAB=β，由斜率定義可知tan(π/2-β)=cotβ=k，由弦切角定理可知弦AB所對的角等於2β，又由弧度制定義，可得弧AB=2βr。同理，弧AC=弧BD=2βr，而最後一段弧由於弦切角≤β（若大於，則應當還可以相撞），則最後一段弧<2βr。令碰撞次數=L，則有2β·Lr<2πr，2β·(L+1)r≥2πr（若不清楚等號位置可以取k=1並作圖後容易得出）。整理後可得π/β-1≤L<π/β。驗證：當m₁/m₂=1時，cotβ=1，β=45°，此時3≤L<4，L=3。同理m₁/m₂=100時，cotβ=100，L=31，m₁/m₂=10000時，L=314，m₁/m₂=1000000，L=3141。

第四部分：撞擊次數L與π的值的關係

當β→0時，有cotβ≈1/β=k=-√（m₁/m₂）（餘切函數圖像），故由π/β-1≤L<π/β可推得π×√（m₁/m₂）-1≤L＜π×√（m₁/m₂），此時若√（m₁/m₂）為10的倍數，則L就為π×這個是10的倍數的整數部分。

(秋天的金槍魚- Day21 來自「秋天的金槍魚」的「fish like forest」)

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