離奇的求π方法

2020-08-28 數學經緯網

竟然有這麼多不知道的求π方法！

您知道嗎？我們計算π，除了用幾何法、數列法、連分數法和現代計算機計算，還有一種不用繁雜計算的稀奇方法——實驗法。

精確性是經典數學的一大特點，各種精確的計算公式和無懈可擊的定理正是這種特點的表現之一。但現實生活中的許多問題，要找到描述它們的精確的數學公式卻是十分困難的，甚至難以辦得到。對於某些具有偶然性的事件更加如此。

1、蒲豐實驗

法國著名數學家蒲豐，在研究偶然事件的規律時曾發現有時數學問題無須進行繁雜的運算而只需通過實驗會有其必然性的結果。由他設計的投針計算圓周率π的實驗就是應用這種方法的一個著名例子。

蒲豐實驗：在一張紙上，用尺畫一組相距為d的平行線，用一些粗細均勻長度小於d的小針扔到畫了線的紙面上，並記錄著小針與平行線相交的次數。如果投針的次數非常之多，則由扔出的次數，和小針與平行線相交的次數，通過某種運算，便可求出r的近似值。歷史上曾有不少數學家作過這個實驗，結果如表1。

表1

由表1可看出，由拋針實驗所得出的結果與π值的確相近但也看出，拉茲裡尼實驗次數比烏爾夫少，但π的精確度反而高。由此知，不一定實驗次數越高，精確度就一定越高。

2、拋針實驗與π

為什麼從一些隨意拋針實驗中，會與圓周率π發生聯繫呢？我們先看一個假想的試驗：

找一根鐵絲彎成一個圓圈，使其直徑等於二平行線間的距離d。那麼，無論怎樣扔下圓圈，都會和平行線有兩個公共點（或者是兩個交點或者是兩個切點），如圖1.如果扔n次，則圓圈與平行線相交2n個點次。如果把圓圈拉直成一根針，

圖1

則針長EF=πd，這樣，針EF與平行線相交的方式有：4個交點，3個交點，2個交點，1個交點，0個交點，如圖27-1.由於這是隨機過程的多次重複試驗，總的可能性和它在圓周形式下相同。因而，將針EF扔n次，它與平行線相交乃2n個點次。經過多次（數千次）重複試驗，證實針EF與平行線相交點的次數m將隨著試驗次數增大，而逐漸向2n逼近。如果用不同長度的針l，l』投擲，它們與平行線相交的次數與針l，l』的長度l，l』成正比。

由上可知，用針長為l的針與針長為πd的針EF，分別投擲n次，則它們分別與平行線交點的次數m與2n之比為m/2n=l/πd，即π=2nl/md，如果我們取l=d/2，則有π=n/m=投扔總次數/碰線總次數，這個試驗的設計和公式，首先是由法國博物學碰線總次數家蒲豐在論文「或然性算術嘗試」中提出的。

1901年，義大利的拉茲裡尼，使用長為l=0.83d的針，投扔了3408次，求出π的近似值3.1415929，準確到小數點後6位。這不但為圓周率的研究開闢了一條新路，並逐漸發展成為一種新的數學方法——統計試驗法（又叫「蒙特卡羅方法」）。現在這個工作盡可全部交由計算機，在幾秒鐘之內便可完成。

3、另一種奇特的求π方法

您相信嗎？如果讓一些人，每人任意隨機地寫出幾個正整數對，然後由寫出的所有正整數對中，檢查多少對正整數是互質的，再由互質的對數與所有給出的正整數對的比，竟可求得π的近似值。這實在是出人意料，簡直是超出了常人的想像力，而使人感到震驚！

事實上，有人就作過這樣的試驗。大約在1904年，查裡斯叫50名學生每人隨機地寫出5對正整數，在所得的250對正整數中，它發現有154對是互質的，這樣出現的互質數對的概率便是154/250.如果把這個數目說成6/x^2，則可算出x=3,12而π=3.14159…，「奇蹟」終於出現了！

要嚴格證明上述概率是6/x^2，需要用到較高的數學知識，而且很難找到像蒲豐實驗那樣巧妙的設計與證明。我們只能通過以下簡單的例子而得到解釋。

隨機地寫出兩個小於1的正數x與y，它們與數1一起組成三數組（x，y，1）。這樣的三個數正好是一個鈍角三角形三邊的概率是(π-2)/4。這個實驗與查裡斯實驗的結構是極其相似的。但是它的證明卻無需用到很多的數學知識。由於0<x，y<1，所以，以數對（x，y）確定的點必均勻分布在單位正方形內。也就是對應的點（x，y）出現在正方形中每一處的機會都相等。如果符合條件的點（指三數（x，y，1）能構成鈍角三角形的數對（x，y）對應的點），落在一個陰影區域G內，如圖2，根據機會均等原則，所求概率應為p=G的面積/正方形面積，我們再來考慮以x，y，1為邊長的鈍角三角形，如圖3，由於0<x，y<1，可知x，y邊所對的角都是銳角，只有為1的邊所對的角A為鈍角，在△ABC中，由余弦定理，有1^2=x^2+y^2-2xycosA，即x^2+y^2=1+2xycosA，由於cosA<0，所以2xycosA<0，故得

x^2+y^2<1 （1）

此即△ABC為鈍角三角形的充要條件。

圖2

圖3

而以三數（x，y，1）為邊構成的三角形的必要條件是x+y>1，亦即

y>1-x （2）

因滿足不等式（1）的點（x，y）在單位圓內部，而滿足不等式（2）的點（x，y），在正方形對角線AB的上方。故同時滿足不等式（1）、（2）的點必落在圖4的陰影部分內。

圖4

這樣三數（x，y，1）能構成三角形的概率：

這不是嗎？「π」確實出現在隨機寫數的場合中，這是多麼神奇！

下面，便可進行類似於查裡斯的試驗了：可叫來許多的學生，讓每人隨機地寫下一對小於1的正數，然後，讓大家檢查一下，看隨機寫下的兩個數x，y與1能否構成一個鈍角三角形（即要同時滿足二不等式：x+y>1，x^2+y^2<1）。若有m名學生，寫出的數對中能與1構成鈍角三角形三邊的數對（x，y）有n個。則有n/m=(π-2)/4，這樣便有π=4n/m+2。

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