隨著電子工業的發展，越來越小的電子設備出現在人們的生活中，這些設備會產生熱量，因而需要進行有效的散熱。觀察證據表明，在較短的尺度上，熱量比傅立葉定律預測的更難提取，這說明它的局限性。我們目前的研究重點是如何解決這個懸而未決的問題。
使用傅立葉定律描述傳熱1822 年，傅立葉發表了《熱的解析理論》（Théorie Analytique de la Chaleur）。從那時起，傅立葉定律成功用於描述各種系統中的許多不同的實驗觀察，並且成效顯著。傅立葉定律由熱梯度與熱通量之間的簡單關係式來描述：
(1)
其中是導熱係數，這是一種材料屬性。
在過去幾十年間，有證據表明，方程（1）在分析特徵長度 L 小於熱載體（聲子）平均自由程的器件時是不正確的。觀察到的熱流比傅立葉定律預測的要小得多，從而降低了這些部件釋放多餘熱量的能力。這個問題常常通過使用取決於特徵長度 的有效導熱係數來解決，該特徵長度必須根據經驗確定。
通過動力學理論，我們能夠正確預測簡單幾何結構中的導熱係數，但目前該理論在電子器件複雜幾何結構中的應用尚不可行。
流體動力學熱輸運的動力學集體模型簡介在 UAB 開發的動力學集體模型（kinetic-collective model，簡稱 KCM）是一個理論架構，其重點是描述納米和微米尺度的傳熱，以及通過微觀計算方法來計算方程中出現的相應傳輸參數。只有通過這種計算組合，我們才能得到預測模型。
傅立葉定律的一階修正為 Guyer-Krumhansl 方程：
(2)
該方程與通量的邊界條件相結合。出於教學原因，這裡我們使用最簡單的版本：
(3)
請注意，方程（2）中的新拉普拉斯項將傅立葉定律變為類似於粘性流體的斯託克斯方程的定律。因此，遵循方程（2）的特性通常稱為聲子流體動力學。這個新術語引入了熱粘度，它會降低通量不均勻區域的有效電導率。在這些區域，熱通量與溫度梯度不再平行，這對熱量分布和溫度分布有重要影響。
使用像納米線這樣的簡單幾何結構來分析方程（1）和方程（2-3）的不同結果是非常有用的。在下圖中，我們可以看到半徑為 500 nm 的納米線內部的熱流，其一端被加熱，另一端被冷卻。分別在導線的兩端施加冷熱溫度，並為通量應用周期性條件，以避免邊界對分布產生影響。所有情況下的溫度分布都是相同的：縱向梯度恆定，橫向沒有變化。針對粘度值增加的範圍（從傅立葉定律（）到 nm）繪製通量。我們很容易觀察到主要的區別：方程（1）給出了橫截面上恆定的通量，而方程（2-3）給出了彎曲的流動曲線。
半徑為 500 nm 的納米線內部的縱向熱通量。三張幻燈片顯示了基於方程（2-3）得到的熱通量分布。均勻溫度分布對應於 （相當於傅立葉定律），中間的一張對應於nm，左邊一張對應於nm。總熱通量隨的增大而減少，導致納米線的有效電導率降低。
出現熱通量曲率的原因是，邊界的影響減少了寬度為 的區域中的流量。當小於線半徑（ ）時，只有邊界附近圓柱殼（稱為克努森層）中的流動受到影響。在克努森層之外，對應於傅立葉極限的熱流值重新恢復。
當特徵長度與線半徑的階數相同時，克努特森層增厚，直至中心位置也能觀察到這種效應為止。此時，樣品橫截面各處的流量都減少，並且流動剖面與粘性流體的拋物線泊肅葉（Poiseuille）流動相似。
正如我們之前指出的，確定納米線中熱輸運方程的最重要的方面是不可能通過實驗獲得橫截面內的熱通量分布。唯一可測量的是有效導熱係數，定義為橫截面上的平均通量除以溫度梯度。這使我們無法從實驗上區分我們觀察到的是根據 Guyer-Krumhansl 方程預測的現象，還是僅僅根據方程（1）預測的有效導熱係數降低的現象。
使用 nm 的 KCM（黑線）和傅立葉定律（藍線）得出的線徑上的通量分布。
上圖顯示了線徑上的兩種不同通量分布。黑線是使用非局部長度為 100 nm 的 KCM 的結果，藍線是傅立葉分布。由於這兩個系統的平均通量相同，它們的有效導熱係數也相同，因此得出的實驗結果相同。
為了確定這個方程是否有效，我們需要進行空間分辨測量，近年來人們常使用熱反射裝置進行測量。
在 COMSOL Multiphysics® 中測量半導體襯底的熱反射率反射率是指示物體表面反射電磁波能力的材料屬性。這個量值的一個重要特徵是它隨溫度變化，這便於熱反射成像（thermoreflectance imaging，簡稱 TRI）測量，其中從表面反射的光用於獲取其溫度。
美國普渡大學的比爾克納米技術中心（BNC）最近開發了一種熱反射裝置，用於測量熱量從頂部不同亞微米長度的金屬線釋放時，矽襯底的溫度。結果如下所示。
使用 KCM 獲得的由亞微米金屬線加熱的矽襯底中的熱通量（白色箭頭）和溫度梯度（黑色箭頭）的方向。由於熱通量與溫度梯度矢量的方向不同，因此線附近的熱粘度非常重要。
BNC 和 UAB 小組嘗試解決的問題是，這個實驗是否可以用有效的傅立葉定律來描述，或者我們是否需要使用改進的模型。幾何結構的複雜性明顯高於前一種情況，因此，重要的是有一種工具可以求解這種情況下的熱特性，這就需要將簡單的 KCM 理論方法與COMSOL Multiphysics 中強大的有限元求解器結合使用。
藉助 COMSOL Multiphysics，我們能夠完整地定義實驗，包括襯底、氧化物絕緣層和頂部金屬線的一致性。與玻爾茲曼輸運方程方法相反，這些簡單的方程可以很容易地在全三維模型中求解。
可以看出，傅立葉定律不能用導熱係數的標稱值、擬合值或有效值來描述整個數據集。
根據熱反射成像（TRI）測量（星號）獲得的溫度分布圖，與在電導率值增加的情況下根據傅立葉定律獲得的預測數據、在電導率降低以適應加熱器溫度的情況下根據傅立葉定律獲得的預測數據（綠色）以及根據 KCM 獲得的預測數據（藍色）進行比較。
在上圖中，紅線是使用傅立葉定律得到的結果，襯底的標稱值為 λ。在本例中，我們觀察到加熱器管線的溫度被低估。如果我們使用傅立葉定律和 λ 的修正值來擬合加熱器溫度，如綠線所示，我們會在尾部得到一個高估值。
上述示例中無法預測全部數據，這清楚地表明傅立葉定律不是描述這些尺度下熱輸運的有效模型。
圖中的藍線顯示了該幾何結構的 KCM 預測結果。由此可見，該模型能夠利用導熱係數的標稱值 λ=150W/mK 以及非局部長度 nm 來預測溫度計和尾部的溫度分布。
結束語這些結果說明了像 COMSOL Multiphysics 這樣的工具如何在研究中用於理解納米尺度的傳熱等傳輸過程的特性。我們預計在未來幾年裡，使用這種組合方法來模擬納米尺度的傳熱會有新的進展。
命名法：溫度（SI 單位：K）
：熱通量（SI 單位：W/m22/K）
：導熱係數（SI 單位：W/m/K）
：流體動力學長度（SI 單位：m）
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