各位關注數學世界的朋友，大家好！數學世界將繼續為大家分享初中數學中有關圓的綜合題，筆者希望通過對習題的分析與講解，能夠為廣大初中生學習相關數學知識提供一些幫助！
一直以來，數學世界都是精心挑選一些數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生學習數學這門課程提供助力！
今天，數學世界分享一道關於圓與相似三角形的解答題，涉及了圓的切線的判定，等腰三角形的性質，勾股定理，特殊直角三角形的性質等知識。下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O與BC交於點D，DE⊥AB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交於點F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為2，BE=1，求CF的長．
知識回顧
切線的判定：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
直角三角形的性質：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
在直角三角形中,如果一條直角邊等於斜邊的一半,那麼這條直角邊所對的角等於30度。
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）
（1）（證切線，連半徑。連結OD，只需證得OD⊥ED，即證得DE是⊙O的切線）
證明：如圖，連接OD，AD，
∵AC是直徑，
∴AD⊥BC，
又∵在△ABC中，AB=AC，
（等腰三角形「三線合一」）
∴BD=CD，
又∵AO=OC，（三角形中位線定理）
∴OD∥AB，
∵DE⊥AB，
∴DE⊥OD，
∵OD為⊙O半徑，（圓的切線的判定）
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：∵⊙O的半徑為2，AB=AC，
∴AC=AB=4，
∵BE=1，
∴AE=AB-BE=3，
過O作OH⊥AB於H，
則四邊形ODEH是矩形，
∴EH=OD=2，
∴AH=AE-EH=1，
∴AH=1/2AO，
（在直角三角形中,如果一條直角邊等於斜邊的一半,那麼這條直角邊所對的角等於30度）
∴∠AOH=30°，
∴∠BAC=60°，∠F=30°，
（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）
∴AF=2AE=6，
∴CF=AF-AC=2．
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，考查了圓的切線的判定，等腰三角形的性質，平行線的性質，矩形的判定和性質，特殊直角三角形的性質等知識。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。
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