輔助線法解題

提要

平面幾何是初中數學的重要組成部分，它的基礎知識在生產實踐和科學研究中有著廣泛的應用，又是繼續學習數學和其他學科的基礎。但許多初中生對解幾何題感到困難，不知道怎麼把已知條件和結論聯繫在一起。其實解幾何問題就像過河，要過河就需要解決橋和船的問題，在幾何圖形中，輔助線就好比溝通已知和未知的橋和船。輔助線添加得巧妙，解題就可以達到「一橋飛架南北，天塹變通途」的效果。

知識全解

一．輔助線法的概念

通過添加輔助線解題的方法稱作輔助線法

二．需要添加輔助線的情況

當圖形比較簡單，圖形已知條件比較分散，基本圖形中的條件缺失時，就需要通過添加輔助線來溝通已知和未知的聯繫，把分散的條件集中到一個圖形中，或還原或構造基本圖形，從而方便地利用已有知識解決問題。

許多輔助線的添加是有規律可循的，要不斷地總結添加方法，這樣有助於拓寬思路，豐富聯想，以達到融會貫通的目的。

三．輔助線法的解題策略

要掌握添加輔助線的方法和技巧，應從具體問題入手，把相同類型的題目以及添加輔助線的方法進行類比，歸納，總結規律，以後遇到類似的題目就會有應對的技巧或思路

添加輔助線是手段，而不是目的，不能見到題目就漫無目的地添加輔助線。一則沒用，二則輔助線越多，圖形越亂，反而妨礙思考問題。

學法指導

類型1 平行線中的輔助線

例1 如圖所示，已知AB‖DE，∠ABC=70度，∠CDE=140度，則∠BCD的值為（）

A.20度 B.30度 C.40度 D.70度

【解析】過點C 作CG‖AB，則∠BCG=∠ABC=70度，又因為AB‖DE，所以DE‖CG，所以∠CDE+∠DCG=180度。因為∠CDE=140度，所以∠DCG=40度，所以∠BCD=30度。故選B

【點評】本題還可以反向延長DE交BC於點F，利用平行線的性質和三角形的外角性質求解。

類型2 三角形中的輔助線

例2 已知，如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90度，點D,E在邊BC上，∠CAE=∠B，E是CD的中點，且AD平方∠BAE

求證：BD=AC

【解析】此題乍看起來毫無思路，但考慮到AE為DC邊上的中線，可延長AE至點F，使AE=FE，連接FD

這樣，在△AEC和△FED中

AE=FE，∠AEC=∠FED，CE=DE

所以△AEC≌△FED（SAS）

所以AC=FD，∠CAE=∠F

至此，此題思路基本已通，接下來，只需證明FD=BD

在△ABD和△AFD中

∠B=∠F，∠DAB=∠DAF，AD為公共邊

所以△ABD≌△AFD(AAS)

所以BD=FD=AC

【點評】涉及三角形中線（或中點）問題時，常採用延長中線一倍的方法構造全等三角形來解決問題。

此題還有另外一種添加輔助線的思路：過點D作AC的平行線交AE的延長線於F，則∠CAE=∠F。此時，在△AEC和△FED中，∠CAE=∠F，∠AEC=∠FED，CE=DE，由AAS可證得△AEC≌△FED。接下來的證明與上面解析中相同。

因為兩直線平行，同位角（或內錯角）相等，可以為證明兩三角形全等創造條件，所以過一點作一條線段的平行線是在證明三角形全等時常用的一種輔助線。

類型3 四邊形中的輔助線

例3 如圖所示，在梯形ABCD中，AD‖BC，AD=3，AB=CD=4，BC=7，求∠B的度數。

【解析】過點D作DE‖AB交BC於點E，四邊形ABED為平行四邊形

∴DE=AB=CD=4，BE=AD=3

∴CE=BC-BE=BC-AD=7-3=4

∴CE=DE=CD

∴△CDE是等邊三角形

∴∠B=∠DEC=60度

【點評】一般地，在解決梯形內部沒有對角線的問題時，我們經常通過平移一腰，在梯形的內部構造平行四邊形和三角形，從而把有限的已知條件集中到一個三角形中，這樣對解決問題更加方便有效。

類型4 圓中的輔助線

例4 如圖所示，⊙O的直徑AB=4，∠ABC=30度，BC=4√3，D是線段BC的中點且在⊙O上。過點D作DE⊥AC，垂足為點E。求證：直線DE是⊙O的切線。

【解析】證明：連接OD

∵點D是BC的中點，點O是AB的中點

∴OD‖AC

又∵DE⊥AC

∴∠EDO=90度

又∵OD是⊙O的半徑

∴DE是⊙O的切線

【點評】如果題目中的直線與圓的公共點明確時，則連接公共點和圓心，然後證明公共點與圓心的連線垂直於已知直線。

連結中考

考點1 添加輔助線求角度

例1 如圖1所示，四邊形ABCD中，∠C=50度，∠B=∠D=90度，E，F分別是BC，DC上的點，當△AEF的周長最小時，∠EAF的度數是（）

A.50度 B.60度 C.70度 D.80度

【解析】如圖2所示，點A關於直線CD，CB的對稱點分別為M,N，則AF=MF,AE=NE，所以△AEF的周長=AF+EF+AE=MF+EF+NE，要使該三角形周長取得最小值，若且唯若M,F,E,N四點共線（如圖3）時成立。因為∠ABC=∠ADC=90度，∠C=50度，所以∠BAD=130度，根據軸對稱性可得：∠FMD=∠FAD,∠ENB=∠EAB；又由三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角和，可得在△MAN中，因為∠MAN=130度，所以∠ENA+∠FMA=50度。所以∠FAD+∠EAB=50度，∠EAF=130-50=80,故選D

【點評】利用對稱是求最值問題的常用方法。本題通過添加輔助線構造軸對稱，進而將三角形周長問題轉化為線段長度問題，為求角度奠定了基礎。

考點2 添加輔助線求邊長

例2 如圖所示，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點（不與A,B重合），連接CP，過點P作PQ⊥CP交AD於點Q，連接CQ

（1）當△CDQ≌△CPQ時，求AQ的長

（2）取CQ的中點M，連接MD,MP，若MD⊥MP，求AQ的長

【解析】（1）當△CDQ≌△CPQ時，DQ=PQ,CP=CD

設AQ=x，則PQ=3-x

在Rt△BCP中，由勾股定理，得PB=4,AP=1

解得：x=4/3，即AQ=4/3

(2) 延長DM交BC於點R，連接PD,PR

易證：△DMQ≌△RMC，∴DQ=CR,DM=MR,∴AQ=BR

∵M為CQ得中點

∴DM=PM

∴△DPR和△PMD都是等腰直角三角形

∴△DAP≌△PBR

∴AP=BR=2

∴AQ=2

【點評】通過添加輔助線，使分散的條件集中化

考點3 添加輔助線證相似

例3 如圖1所示，在四邊形ABCD中，點E，F分別是ABCD的中點。過點E作AB的垂線，過點F作CD的垂線，兩垂線交於點G，連接GA,GB,GC,GD,EF。若∠AGD=∠BGC

（1）求證：AD=BC

（2）求證：△AGD≌△EGF

（3）如圖2所示，若AD,BC所在直線互相垂直，求AD/EF的值

【解析】（1）證明：∵GE是AB的垂直平分線，∴GA=GB。同理GD=GC。

在△AGD和△BGC中，∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,CD=GC

∴△AGD≌△BGC

∴AD=BC

（1）證明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC

在△AGB和△DGC中，GA/GD=GB/GC,∠AGB=∠DGC

∴△AGB∽△DGC

∴AG/DG=EG/FG

又∵∠AGE=∠DGF

∴∠AGD=∠EGF

∴△AGD∽△EGF

(3)如圖3所示，延長AD交GB於點M，交BC的延長線於點H，則AH⊥BH

由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB

∴∠AGB=∠AHB=90度，∠AGE=1/2∠AGB=45度

∴AG/EG=√2

又∵△AGD∽△EGF

∴AD/EF=AG/EG=√2

【點評】本題(3)小題的解法有多種，還可按圖4和圖5作輔助線求解。

考點4 判斷說理

例4 如圖所示，正方形ABCD的邊長為8cm，E,F,G分別是AB,CD,DA上的動點，且AE=BF=CG=DH。

（1）求證：四邊形EFGH是正方形

（2）判斷直線EG是否經過某一點，說明理由

（3）求四邊形EFGH面積的最小值

【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形

∴∠A=∠B=90度，AB=DA

∵AE=DH，∴BE=AH

∴△AEH≌△BFE

∴EH=FE,∠AHE=∠BEF

同理：FE=GF=HG

∴EH=FE=GF=HG

∴四邊形EFGH是菱形

∵∠A=90度、

∴∠AHE+∠AEH=90度

∴∠BEF+∠AEH=90度

∴∠FEH=90度

∴菱形EFGH是正方形

（2）直線EG經過正方形ABCD的中心

理由如下：連接BD交EG於點O，如上圖所示

∵四邊形ABCD是正方形

∴AB‖DC，AB=DC

∴∠EBD=∠GDB

∵AE=CG

∴BE=DG

∵∠EOB=∠GOD

∴△EOB≌△GOD

∴BO=DO,即點O為BD的中點

∴直線EG經過正方形ABCD的中點

（3）設AE=DH=x，則AH=8-x

在Rt△AEH中，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32平方釐米

【點評】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質和判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性質，勾股定理，二次函數的最值等知識，綜合性強，有一定難度，特別是（2）中，需要通過添加輔助線證明三角形全等才能得出結果。