各位朋友，大家好！數學世界繼續為大家分享初中數學題，希望筆者的分析與講解能夠為廣大初中生學好數學提供一些幫助！今天，數學世界分享一道有關圓的計算綜合題，涉及垂徑定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識。
一直以來，數學世界都是精心選擇一些數學題分享給大家，目的是希望由此激發學生們對數學這門課程的興趣，並能給廣大學生的學習提供一點幫助！接下來，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，已知AC是半徑為2的⊙O的一條弦，且AC=2√3，點B是⊙O上不與A、C重合的一個動點，
（1）計算△ABC的面積的最大值；
（2）當點B在優弧AC上，∠BAC＞∠ACB時，若∠ABC的平分線交AC於D，且OD⊥BD，求線段AD的長．
知識回顧
垂徑定理:垂直與弦的直徑平分這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。
推論一:平分弦(不是直徑)的直徑垂直與這條弦,並且平分這條弦所對的兩段弧。
推論二:弦的垂直平分線經過圓心，並且平分這條弦所對的弧。
推論三:平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分這條弦,並且平分這條弦所對的另一條弧。
分析：（1）如圖1所示，當點B在優弧AC的中點時，AC邊上的高最大，△ABC的面積的也最大，連接AB，BC，OB，延長BO交AC於H．根據圓的對稱性，得到BH⊥AC，AH=HC，再根據勾股定理求出OH的長，進而求出BH即可解決問題．
（2）如圖2所示，延長BD交⊙O於E，連結OE交AC於F，連結OC．通過計算線段長度OF=1，EF=1，證明△ODF是等腰直角三角形，求出DF即可解決問題．
請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。下面，我們就按照以上思路來解答此題吧！
解答：（以下過程可以部分調整）
（1）如圖1，當點B在優弧AC的中點時，AC邊上的高最大，此時△ABC的面積的最大，
連接AB，BC，OB，延長BO交AC於H．
∵弧AB=弧BC，BO是半徑，
∴BH⊥AC，AH=HC，（根據圓的對稱性）
∵AC=2√3，
∴AH=HC=√3，
∵在Rt△AOH中，OH^2=OA^2-AH^2，
∴OH=1，
∴BH=OB+OH=2+1=3，
∴△ABC的最大面積
=1/2×AC×BH
=1/2×2√3×3
=3√3．
（2）如圖2，延長BD交⊙O於E，連接OE交AC於F，連接OC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴E為弧AC中點，
∴OE⊥AC，（垂徑定理）
∴AF=CF=√3，
∵在Rt△COF中，OF^2=OC^2-CF^2，OC=2，
∴OF=1，EF=1，
∴DF垂直平分OE，
∴OD=DE，
又∵OD⊥BD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴DF=1/2OE=1，
∴AD=AF-DF=√3-1．
（完畢）
這道題屬於綜合題，考查了垂徑定理、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是會添加常用輔助線，並構造特殊三角形解決問題。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。