別具一「格」，「圖」謀素養
——格子圖在小學數學教學中的實踐研究
【摘 要】格子圖是一種優質的數學學習載體，本文以數學素養為指引，以實際案例為橋梁，結合教學實踐、調查研究，逐步對格子圖進行挖掘、活用、加工，探析利用格子圖有效提升數學素養的策略。通過豐富格子圖的大小、形狀、功能，將抽象的數學知識形象化，為學生解決數學問題提供更多的方法和思路。善加利用格子圖，幫助學生懂得觀察，學會思考，擅於表達，進而提高思維品質和解題能力，實現數學素養的有效提升。
【關鍵詞】格子圖；學習載體；數學素養；教學策略
一、問題緣起
（一）格子圖可開發
【問題情境】
哥哥給弟弟3元，他們的錢就一樣多了，哥哥原來比弟弟多了多少錢？
【質疑思考】
在三年級上冊和差問題的教學中，這道情境題錯誤率極高，絕大部分孩子認為正確答案是3。因此，筆者思考如何打破學生原有的定勢思維，讓學生更為直觀地理解題意，提高學生的解題能力，並在解題過程中提升學生的數學素養。
【方法對比】
方法一：講解分析。口頭講解不直觀，難以表達清晰。
學習情況：始終難以理解哥哥比弟弟多的錢為什麼不是3而是3的兩倍。
方法二：藉助方程。假設哥有a元，弟有b元，a-3=b+3，a-b=6，多6元。
學習情況：沒有學過方程，無法真正理解相差的數量關係。
方法三：藉助格子圖。畫出格子圖，數形結合講解，如圖1。
學習情況：通過觀察格子圖，學生輕鬆理解題意。
反思：藉助格子圖的直觀性，搭建了抽象到形象的橋梁。可見格子圖有讓學生快速理解題意，掌握解題方法從而提升數學素養的功效。反觀現在的數學課堂，以格子圖為載體的教學浮於表面。因此筆者調查訪談了周邊學校的數學教師，試圖對現狀進行分析，同時觀看了大量優質課和教學案例，試圖提出相關策略，為一線教師在數學課堂上更好地使用格子圖提供參考。
（二）格子圖須重視
筆者以一所市區小學、一所鄉鎮小學和名師工作室的40餘位數學老師為調查對象，發放調查問卷並進行訪談，從對以格子圖為載體的認可度和課堂使用率這兩個方面進行了解，得到結果如圖2。圖中明顯看出教師對於以格子圖為載體的解題教學比較認可，而且絕大部分教師認為善加利用格子圖能提高學生解題能力，但是在課堂中的使用率卻比較低。
筆者嘗試從人教版小學數學教材中尋得格子圖的痕跡，整理如圖3。從中發現格子圖出現在各個年級，且在新授課、練習課、複習課中均有不同程度的涉及。不僅局限於圖形教學，還出現在運算、統計、解決問題等課中。
可見，格子圖重要但不受重視。對此，筆者進一步調查和實踐，查閱了近兩年100餘篇聽課筆記（涵蓋各級各類優質課、教研課、公開課、隨堂課），歷經分析、梳理、比較、反思、總結，概述當前格子圖在教學中運用的現狀，並針對性地提出策略，以求尋得數學素養的培養之道。
（三）格子圖值研究
經過調查和訪談，筆者發現不少教師認為格子圖只適用於圖形教學，且很多時候只是將格子圖當做背景在使用。有些老師覺得在運算教學或解決應用題時沒有使用格子圖的必要，他們更適應對照算式講解數量關係進而算出答案的方法。現將格子圖在課堂運用中存在的不足之處概括為以下三點。
1．用而不透，觀察不到位
小學教材中格子圖作為數學載體頻繁出現，但有些老師忽略了格子圖的作用，覺得它可有可無，因此課堂上老師對「格子圖」的教學浮於表面，收效甚微。
2． 適而不用，思考不到位
小學生的思維以具體形象思維為主，難以理解抽象的概念以及解決抽象的數學問題，需要藉助形象的數學載體作為過渡。但一些老師刻板依從教材，在適用格子圖的地方不能充分挖掘價值，導致學生並沒有將格子圖作為解題工具的意識。
3． 用而不適，表達不到位
好的教學活動應是學生主體和教師主導的和諧統一。但有些老師用自己的結論代替學生思考的過程，使關於用格子圖解題的模型建立粗糙，思想滲透不到位。
二、對格子圖在小學數學教學中的策略探析
（一）藉助格子圖，在數學的世界裡懂得觀察
在數學教學過程中，教師應培養學生用數學的眼光觀察事物，從具體內容中抽象出數學本質。但小學生觀察力有限，往往觀其表不知其裡。而格子圖恰是由正方形格子連接構成的規整圖形，將其作為參照和標準，讓學生畫、數，使抽象問題形象化，幫助學生由表及裡地理解知識。
1．搭建形象橋梁，發展抽象思維素養
面積教學中常常出現「課上會課後錯」的情況，這是由於「面積」的概念較抽象，且小學生易混淆「周長」和「面積」的概念。
（1）畫格子，統一標準
【案例引入】題目：周長都是16cm的長方形，長寬各取多少時面積最大？教學這道題目時，教師通常讓學生先將符合條件的長寬例舉出來算出面積，但例舉法不能讓學生真正理解，學生仍是屢做屢錯。
【策略分析】教學這類題目時，可以讓學生在格子圖裡畫出對應的長方形。通過觀察，長每縮短1釐米，寬則增加1釐米，圍成的長方形面積在增大。學生能找到兩數之和為定值時，兩數相等時積最大的一種幾何解釋。
（2）鋪格子，積格成面
【案例引入】
【策略分析】學生學習應是自主建構知識的過程，而不是直接給予結論。因此，藉助格子圖鋪成面，將長方形拆成了一個個小正方形，將未知轉為已知，使抽象轉成具象，簡化了長方形面積公式的探索，加深了對於長方形面積公式的理解。以小格子為參照，便於觀察，也有利於發展抽象思維素養。
2．借圖激發聯想，發展直觀想像素養
平行與垂直、圖形的運動都是較難掌握的知識，學生掌握不了知識的本質，究其原因是教師在教學過程中只是單純地讓學生畫圖，而沒有以格子圖為參照，讓學生理解線與線之間、圖形與圖形之間的關係。
（1）借格子，釐清關係
【案例引入】
教學平行與垂直時，學生能在格子圖中快速地畫出一組平行線（如圖6），但不能很好地發現平行線間的距離處處相等。這是由於一些老師在教學時，忽略了格子圖的本質特點，沒有意識到格子圖作為學習材料的重要性，因此學生不能很好地從中觀察到規律。
【策略分析】
畫完平行線後，讓學生數一數平行線間的格子，會很容易發現：平行線間的距離處處相等。格子圖橫向與縱向的線段都是互相垂直的，引導學生觀察發現：所有縱向的線段都是互相平行的，且都與橫向的線段互相垂直。可見，格子圖作為一種數學載體要用足用透，只蜻蜓點水，學生不會有深刻的感悟。
（2）數格子，由點及面
【案例引入】
平移練習中，當要求畫出三角形向右平移四格後的圖形（如圖7）。學生總會數圖形間的最短距離進行平移。錯因在於教學時沒有明確圖形是圖形中所有點、線等元素的集合，圖形平移應是所有點、線等元素的同時平移。
【策略分析】先讓學生理解圖形中任意一個元素的平移格數和整個圖形的平移格數是相同的。形成了圖形平移格數由面到點的抽象思維後，接著引導學生進行由點到面的反向思考。①找出關鍵點，確定各個點之間的距離。②平移關鍵點，選取圖形中某一個或幾個元素先平移。③將所有點連起來，畫出整個圖形。
（二）藉助格子圖，在數學的世界裡學會思考
學會思考實際上就是讓學生經歷發現問題、分析問題和解決問題的過程，培養學生的實踐能力和創新能力。沒有數學的思考做基礎，發展數學素養只是空談。
「數缺形時少直觀，形少數時難入微」，數的認識、數學運算是數學學習的基礎和命脈。教師在教學過程中，總是著力於算的訓練，而忽略了理的重要。概念和算理都較抽象，所以可以將格子圖賦予數的含義，輔助思考，從而提升素養。
1．溝通知識聯繫，發展邏輯推理素養
小數和分數是較為抽象的重難點，兩者的關係不易理解。將格子圖轉化為以10、100為單位的長方形，助學生踏上形象的橋梁，依據邏輯推理出內涵和聯繫。
（1）拆格子，理解概念
【案例引入】《小數的初步認識》活動片段
【策略分析】從「實物」抽象成「格子圖」，再從「格子圖」中提煉出「小數」，經歷「物、形、數」的過渡，整個過程遵循了學生的認知發展規律。把大格子平均分成10小格，將表徵過程放手讓學生探究，從半抽象的本質去感悟小數與十分之幾的關係，同時聯繫了十進關係，將知識連接起來，初步形成系統。
（2）分格子，探究規律
【案例引入】《乘法分配率》
【策略分析】教學乘法分配率時，通常給出計算實例發現規律，再舉例驗證規律做出不完全歸納。但很多學生仍會混淆乘法分配率和結合律。因此要藉助格子圖搭建幾何模型，通過觀察、分析、對比、總結，深化認識，更好地理解算理。
2．巧借數形結合，發展數學運算素養
在口算、筆算和估算等數學運算課程中，通過格子圖對式子進行解釋和分析，使對算理的理解、運算規律的探索更具指向性，從而發展數學運算素養。
（1）鋪出算理，融形入算
在教學乘法口訣時，通常的教學處理是：讓學生根據實物數量，得出乘法算式，進行口訣理解再背誦。這樣的處理無法讓學生真正感受乘法口訣的意義及規律，不能高效記憶。所以教學時可以藉助格子圖幫助理解與記憶。
【案例引入】
【策略分析】
如果只進行機械性背誦，學生不能很好地理解乘法口訣的意義。因此利用格子圖進行數形結合，形象地展示乘法口訣的內涵，再通過觀察、分析、思考，能更好地理解乘法的算理，為之後數學運算的學習打下良好的基礎。
（2）填出竅門，規範筆算
在練習筆算時，教師反覆強調相同數位要對齊，但後進生的學習習慣不佳，列的豎式總是歪歪扭扭，導致計算經常失誤，所以可以利用格子圖規範豎式。
【策略分析】
實踐對比發現，格子圖能提高筆算正確率。在格子圖中列豎式，一個格子對應一個數字，學生能直觀地感受到數位的存在，自然而然就能對齊，並更易理解相同數位對齊的內涵。進而養成良好的計算習慣，提高運算能力。
（3）繪入深意，淺出估算
【案例引入】《用估算解決問題》教學片段
【策略分析】在估算教學中，很多學生仍有上述困惑。這是因為數據是抽象的，在學生的腦海中「一加一減」剛好抵消。要想突破這個認知誤區，光精確算出答案不足以讓學生真正地理解。利用格子圖，就能向學生直觀呈現誤差所在了。（如圖9）
（三）藉助格子圖，在數學的世界裡擅於表達
數學語言是反映數學特點的學科語言，具有科學準確、邏輯嚴密、表達完整等特點。學生對數學語言表達能力的掌握情況，將直接影響其後繼學習及思維能力的發展，而表達能力是要用數學語言（即數學建模、數據分析等）闡釋數量關係和變化規律。利用格子圖每格大小一致的特點，可建立直角坐標系，可搭建方位、函數模型，還可用於數據的存儲和分析。
1．抽象數學本質，發展數學建模素養
數對知識為學習後續坐標軸的知識打下基礎，坐標軸的建立對於學生學習函數、各類統計表非常重要，而格子圖在學習坐標軸知識中有著不可替代的作用。
（1）描格子，確定位置
【案例引入】
以下是人教版五年級上冊《位置》單元例1例2的主題圖，教例2時，學生普遍困惑到底數對是對應一個方格，還是一個點。這是由於教學例1時，教師忽略了也要將格子圖融入其中，沒有過渡，導致學生的認知較為片面。
【策略分析】在座位圖上直接覆蓋上格子圖，讓學生一眼就能看出數對是對應一橫一縱交錯的點，起到過渡作用，消除學生疑惑。創設蜘蛛爬行情境，讓學生經歷創造方格圖的過程，體會原點的必要性。從一條線上描述位置開始，引出直尺，把起點、方向、單位長度融合進來，接著從一維跨越到二維，讓學生把握數對與點的對應關係，這樣直角坐標系的雛形——方格圖的形成顯得水到渠成。
（2）用格子，直觀滲透
【案例引入】《反比例函數》
【策略分析】以格子圖為載體，學生不僅掌握了反比例函數的含義，還能從構建的長方形中，直觀理解反比例關係的特點。在觀察變化中自主建立模型，內化知識，深刻感悟函數思想。
2．挖掘數據內涵，發展數據分析素養
統計學的一個核心就是數據分析。不論是統計還是概率，都要基於對數據的分析。在進行預測的同時，為了使預測更合理，也需要收集更多的數據。創造性地使用格子，讓學生通過貼、塗、預測等活動發展數據分析素養。
（1）貼格子，生成圖表
【案例引入】在教學條形統計圖時，為了省時教師通常都是給出數據和格子圖讓學生畫，這樣教學較為生硬，學生無法知曉條形統計圖是如何生成的。
【策略分析】要捨得花時間讓學生經歷條形統計圖形成的過程，在「貼格子」這個動態過程中，親歷「變數據為統計圖」的建模過程，讓學生對於數據有更為深入地感知，從而為後續學習統計圖知識打下基礎。
（2）塗格子，分析趨勢
【案例引入】
《擲一擲》是收集整理骰子點數之和的數據，讓學生理解可能性的大小，並通過分析數據發現分布規律。但真實教學中，教師往往沒有讓學生做實驗，而是直接出示書上的圖表，這樣不利於數據分析能力的培養。
【策略分析】塗格子其實也是生成條形統計圖的過程，塗完後分析數據，得出和為哪些數的可能性大或小，並進一步思考可能性大小的原因，這其實就是讓學生挖掘數據背後真正的含義和規律。將原理按條形圖狀呈現，給予最直觀的感受，這樣學生就能分析趨勢，進行推測。格子圖能幫助學生有效儲存、分類、對比信息，了解關聯量的關係與走勢，發展學生的數學建模及數據分析素養。
結語：
格子圖源於問題，應用於解決問題。其藉助方正的格子將複雜的圖形標準化，利用代換思想將抽象的知識形象化，憑藉規則的網格將無序的數據規律化，為學生搭建數學學習的橋梁。因此，教師要關注現階段格子圖利用不到位的現象，重視學習載體的教學，提倡教學方法多樣化。藉助格子圖創新學生的思路，激發學生的學習興趣，提高解題能力，從而讓課堂因更好地利用格子圖而出彩，讓學生攜豐厚的數學素養以前行。
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