八年級上冊期中複習二:等腰三角形的性質與判定

     仔細認真做一做：

1.【答案】 D  

【考點】三角形內角和定理，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：底角=（180°-60°）÷2=60°.
 故答案為：D. 
 【分析】根據三角形內角和定理，結合等腰三角形的性質計算即可。

2.【答案】 D  

【考點】等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：A：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高三線重合，不符合題意； B、 在同一三角形中等角對等邊，不符合題意； C、等腰三角形不一定是銳角三角形，如頂角是120°，底角為30°的等腰三角形，不符合題意； D、等腰三角形兩個底角相等，正確，符合題意；
 故答案為：D. 
 【分析】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高三線重合；在同一三角形中等角對等邊，不同的三角形中，等角不一定對等邊；等腰三角形不一定是銳角三角形；等腰三角形兩個底角一定相等。

3.【答案】 D  

【考點】等腰三角形的判定   

【解析】【解答】解：如圖，

 有5個等腰三角形.
 故答案為：C. 
 【分析】以B點為圓心，以BA為半徑畫圓與格點有五個交點，其中第二列不能構成三角形，∴能構成4個等腰三角形；以A為圓心，以AB為半徑畫圓，與格點有1個交點；

4.【答案】 D  

【考點】等腰三角形的判定與性質，等腰直角三角形，三角形全等的判定（ASA）   

【解析】【解答】解：A、∵ AC=AB，∠BAC=90°，∴∠B=45°，∴∠DBE=22.5°，

 ∴∠E=90°-∠DBE=90°-22.5°=67.5°，正確，不符合題意；

 B、∵∠B=45°，∴∠BAH=∠ACB=90°-∠B=45°，∴∠AMF=∠ABM+∠BAM

 =22.5°+45°=67.5°，∠AFM=∠ACB+∠CBF=45°+22.5°=67.5°，正確，符合題意；

 CD、∵AB=AC，∠BAC=∠EAC=90°，∠AFB=∠CFD，∴∠ABF=∠FCD，∴△ABF≌△ACE（ASA），∴AF=AE，∴AB+AF=AB+AE=BE>BD，D錯誤，符合題意；∵BD平分∠ABC，BD⊥EC，∴△ABC是等腰三角形，∴ED=CD，∴EC=2CD，∵△ABF≌△ACE，∴BF=EC，∴BF=2CD，∴C正確，不符合題意.

 故答案為：D.

【分析】利用等腰直角三角形的性質可求出∠ABC的度數，利用角平分線的定義求出∠DBE的度數，利用三角形的內角和定理求出∠E的度數，可對A作出判斷；再利用直角三角形的兩銳角互餘，去證明∠AMF＝∠AFM，可對B作出判斷；利用ASA證明△ABF≌△ACE，可得到BF=CE，再利用等腰三角形的性質，可證得CE=2CD，從而可得到BF和CD之間的數量關係，可對C作出判斷；然後證明AB+AF=BE，利用直角三角形中斜邊最長，可對D作出判斷；綜上所述可得出不正確的結論。

5.【答案】 C  

【考點】三角形內角和定理，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：如圖，當高在AB上時，

 ∴∠HAC=30°， ∴∠BAC=180°-∠HAC=150°；
 故答案為：C. 
 【分析】分兩種情況求解，即當高在腰上或腰的延長線時，然後利用30°所對的直角邊等於斜邊的一半的性質即可求解。

6.【答案】 D  

【考點】等腰三角形的判定與性質   

【解析】【解答】解：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；
 ∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
 ∵BE是∠ABC的平分線，∴∠EBC=∠ABE=36°，
 ∴∠A=∠ABE，∠BEC=180°-∠CBE-∠C=72°，
 ∴△AEB和△CBE是等腰三角形；
 ∵DE∥BC， ∴∠DEB=∠CBE=36°，
 ∴∠DEB=∠DBE，∴△BDE是等腰三角形；
 ∵DE∥BC，
 ∴∠ADE=∠ABC=72°，∠AED=∠C=72°，
 ∴∠ADE=∠AED， ∴△ADE是等腰三角形，
 綜上共有5個等腰三角形.
 故答案為：D. 
 【分析】根據等腰三角形的判定定理分別分析判斷，利用三角形內角和定理，結合AB=AC，∠A=36°，角平分線定義和平行線的性質分析可得其中5個三角形是等腰三角形.

7.【答案】 B  

【考點】等腰三角形的性質   

【解析】【解答】(1)若3為腰長，7為底邊長，

由於3+3<7，則三角形不存在；

( 2 )若7為腰長，則符合三角形的兩邊之和大於第三邊.

所以這個三角形的周長為7+7+3=17.

故答案為：B.

 【分析】由等腰三角形的性質可分兩種情況討論求解：
 ①當3為腰長，7為底邊長，根據三角形任意兩邊之和大於第三邊可判斷能否構成三角形，再根據三角形周長等於三邊之和即可求解；
 ②當7為腰長，3為底邊長，根據三角形任意兩邊之和大於第三邊可判斷能否構成三角形，再根據三角形周長等於三邊之和即可求解.

8.【答案】 B  

【考點】等邊三角形的判定與性質，平移的性質   

【解析】【解答】解：∵△ABC沿射線BC方向平移2個單位後得到△DEF，

∴DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，

∵∠B＝∠DEC＝60°，

∴△DEC是等邊三角形，∴DC＝4，

故答案為：B.

【分析】根據平移的性質可得DE＝AB＝4，BC﹣BE＝6﹣2＝4，然後根據等邊三角形的定義列式計算即可得解.

9.【答案】 D  

【考點】等腰三角形的判定   

【解析】【解答】解：①∵△ABC中，AB＝AC  ， 

∴△ABC是等腰三角形，故①符合題意；

②∵△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°，

∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣68°﹣56°＝56°，

∴∠B＝∠C  ，則AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，故②符合題意；

③∵△ABC中，AD⊥BC ， AD平分∠BAC  ，

∴∠BAD＝∠CAD  ， ∠ADB＝∠ADC ，

∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠C  ，則AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，故③符合題意；

④∵△ABC中，AD⊥BC ， AD平分邊BC  ，

∴AB＝AC  ，

∴△ABC是等腰三角形，故④符合題意；

即正確的個數是4，

故答案為：D．

【分析】根據等腰三角形的判定定理即可逐一判斷．

10.【答案】 C  

【考點】等邊三角形的判定與性質，三角形全等的判定（AAS）   

【解析】【解答】解：過P作PM∥BC，交AC於M，

故答案為：C.

【分析】根據題意過P作BC的平行線，交AC於M；則△APM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，PE是AM上的高，根據等邊三角形三線合一的性質知AE＝EM；易證得△PMD≌△QCD，則DM＝CD；此時發現DE的長正好是AC的一半，由此得解.

二、填空題

11.【答案】 15  

【考點】等腰三角形的性質，勾股定理   

【解析】【解答】解：如圖： 

故答案為15.

【分析】在等腰三角形的腰和底邊高線所構成的直角三角形中，根據勾股定理即可求得底邊上高線的長度.

12.【答案】 80°  

【考點】三角形內角和定理，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠B=50°，

∴∠C=∠B=50°，

∴∠A=180°-2×50°=80°．

故答案為：80°．

【分析】根據等腰三角形兩底角相等可求∠C，再根據三角形內角和為180°列式進行計算即可得解．

13.【答案】 23°  

【考點】三角形的外角性質，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：∵DE=BE，
 ∴∠BDE=∠B， ∴∠DEC=∠B+∠BDE=2∠B，
 ∵CD=DE， ∴∠DCE=∠DEC=2∠B，
 ∵∠A=90°， ∴∠B+∠ACB=90°，
 ∴∠B+2∠B+21°=90°， ∴3∠B=69°， ∴∠B=23°.
 故答案為：23°. 
 【分析】根據等腰三角形的性質和三角形外角的性質，通過轉化把∠DCE用∠B來表示，結合∠A=90°，利用三角形內角和定理列式即可求解.

14.【答案】 40  

【考點】三角形內角和定理，三角形的外角性質，等腰三角形的性質   

15.【答案】 15  

【考點】平行線的性質，等腰三角形的判定，角平分線的定義   

【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交於點O，

∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO，

∵MN//BC，

∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，

∴∠ABO＝∠MOB，∠ACO＝∠NOC，

∴BM＝OM，CN＝ON，

∴△AMN的周長是：AM+NM+AN＝AM+OM+ON+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝9+6＝15．

故答案為：15．

【分析】由在△ABC中，∠BAC與∠ACB的平分線相交於點O，過點O作MN//BC，易證得△BOM與△CON是等腰三角形，繼而可得△AMN的周長等於AB+AC．

16.【答案】 115°  

【考點】三角形內角和定理，三角形的外角性質，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，

∵∠B＝50°，∴∠C＝50°，

∴∠BAC＝180°﹣50°﹣50°＝80°，

∵∠BAD＝55°，∴∠DAE＝25°，

∵DE⊥AD，∴∠ADE＝90°，

∴∠DEC＝∠DAE+∠ADE＝115°.

故答案為：115°.

【分析】根據等腰三角形的性質得到∠C＝50°，進而根據三角形的內角和定理得到∠BAC＝80°，由∠BAD＝55°，得到∠DAE＝25°，由DE⊥AD，得到∠ADE=90°，最後根據三角形的外角定理，由∠DEC＝∠DAE+∠ADE求出結論.

17.【答案】或

【考點】三角形全等的判定，等腰三角形的性質   

【解析】【解答】解：設當△BPD與△CQP全等時點Q的運動速度為每秒x個單位長度，時間為t，

∵AB=AC，∴∠B=∠C，

∵AB=24，D為AB的中點，∴BD=12，

若△BPD與△CQP全等，則有兩種情況：

①BD=CP，BP=CQ，

即，4t=xt，解得：x=4；

②BD=CQ，BP=CP，

即12=xt，4t=16-4t，

解得：t=2，x=6，

∴當點Q的運動速度為每秒4或6cm時，使得三角形Δ BPD與Δ CQP全等.

故答案為：4或6.

【分析】設當△BPD與△CQP全等時，點Q的運動速度為每秒x個單位長度，時間為t，求出BD，求出∠B=∠C，根據全等三角形的判定得出兩種情況，分別求出即可．

18.【答案】1/6

【考點】全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，含30°角的直角三角形   

【解析】【解答】∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC=BC，∠A=∠B=∠C=60°.

∵DE⊥AB，EF⊥BC，FD⊥AC，

∴∠AFD=∠BDE=∠FEC=90°

∠ADF=∠BED=∠CFE=90°-60°=30°

∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°-30°-90°=60°

故△DEF是等邊三角形

∴DE=DF=EF

又∵∠A=∠B=∠C, ∠AFD=∠BDE=∠FEC

∴△ADF≌△BED≌△CEF

∴AD=BE,AF=CF

設AH為x，則AF=2x

在Rt△ADF中，∠ADF=30°，

∴AD=4x  ∴BE=4x,CF=2x

BC=2x+4x=6x

∴ AH/BC=x/6x=1/6

故答案為：1/6

【分析】設AH為x，利用等邊三角形的性質和直角三角形中邊角關係，求證三角形DEF也為等邊三角形，將BC用x表示出來，然後求解即可.

三、解答題

19.【答案】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC， 

∴∠BAD＝∠CAD＝1/2 ∠BAC＝40°，

∵AD＝AB，

∴∠BDA＝1/2×（180°﹣40°）＝70°，

∴∠E＝∠BDA﹣∠CAD＝70°﹣40°＝30°．

【考點】三角形的外角性質，等腰三角形的性質    

【解析】【分析】根據等腰三角形三線合一的性質可求∠BAD＝∠CAD＝1/2∠BAC＝40°，根據等腰三角形的性質可求∠BDA，再根據三角形外角的性質即可求解．

20.【答案】（1）證明：∵AB=AC，D是BC的中點，

∴∠EAB=∠EAC，

在△ABE和△ACE中，

∴△ABE≌△ACE（SAS），

∴∠ABE＝∠ACE

（2）證明：∵△ABE≌△ACE，

∴BE=CE，又∠ABE＝∠ACE，∠BEG=∠CEF，

∴△BEG≌△CEF（ASA），∴EF＝EG

【考點】等腰三角形的性質，三角形全等的判定（SAS），三角形全等的判定（ASA）   

【解析】【分析】（1）根據等腰三角形的性質就可以求出∠BAE=∠CAE，再證明△ABE≌△ACE就可以得出結論；（2）根據（1）中條件證明△BEG≌△CEF即可得到結論.

21.【答案】（1）解：∵∠B＝70°，AB＝AD， 

∴∠ADB＝∠B＝70°，

∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，

∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，

∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°

（2）解：AD平分∠BDE，

理由是：∵∠BAD＝∠CAE，

∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，

即∠BAC＝∠DAE，

在△BAC和△DAE中，

∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，

∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，

即AD平分∠BDE.

【考點】平行線的性質，等腰三角形的性質，三角形全等的判定（SAS）   

【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性質，結合三角形內角和定理求出∠BAD的度數，則CAE的度數可知, 再利用平行線的性質定理即可求解；
 （2） 由∠BAD＝∠CAE可推∠BAC＝∠DAE，再利用邊角邊定理證明△BAC≌△DAE  ，則對應角∠B＝∠ADE，結合∠B＝∠ADB，則可得出結論.

22.【答案】（1）解：∵△ABC、△BDE均為等邊三角形， 

∴AB=AC=BC，BD=BE，∠ABC=∠EBD=60°，

∴180°﹣∠EBD=180°﹣∠ABC，

即∠ABE=∠CBD，

在△ABE與△CBD中，

（3）解：由（2）知：△ABG≌△CBH， 

∴BG=BH，

∵∠CBH=60°，∴△GHB是等邊三角形，

∴∠BGH=60°=∠ABC，∴GH∥AD．

【考點】平行線的判定，三角形全等及其性質，等邊三角形的判定與性質   

【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質可證得△ABE≌△CBD，可求得AE=CD；（2）由全等三角形的性質得出∠BAG=∠BCH，證出∠ABC=∠CBH=60°，由ASA證明△ABG≌△CBH，可得AG=CH；（3）由（2）中的全等得BG=BH，證明△GHB是等邊三角形，根據內錯角相等可得結論．

23.【答案】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形， 

∴∠B=∠C=45°，AB=AC，

∵E是BC的中點，∴BE=CE，

在△BPE和△CQE中，

∴△HEQ≌△PEQ（SAS），∴HQ=PQ，

∴AC=AQ+QH+CH=AQ+PQ+AP=4+5+3=12．

【考點】三角形內角和定理，三角形全等的判定，等腰三角形的性質   

【解析】【分析】（1）由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B=∠C=45°，AB=AC，又由AP=AQ，E是BC的中點，利用SAS，可證得：△BPE≌△CQE；（2）證明△ABE≌△ECQ（AAS），由全等三角形的性質得出AE=EQ，由三角形內角和定理可求出答案；（3）在CQ上截取CH，使得CH=AP，連接EH，證明△CHE≌△APE（SAS），由全等三角形的性質得出HE=PE，∠CEH=∠AEP，證明△HEQ≌△PEQ（SAS），得出HQ=PQ，則可求出答案．

24.【答案】（1）解：如圖，

 則PC=t,BQ=2t-3,
 ∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
 ∴t＋2t-3+3=6,
 解得t=2 ;
 ② 當Р點在AB上，Q在AC上, 如圖，

 則AP=t-4,AQ=2t-8.
 ∵直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，
 ∴t-4+2t-8=6,
 ∴t=6,
 ∴當t為2或6s時，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分.  

【考點】等腰三角形的判定，三角形-動點問題   

【解析】【分析】（1）出發2秒，P運動的路徑長為2，可知P在AC上，利用勾股定理先求出PB長，則△ABP的周長可求；
 （2） ①若Р在邊AC上時，BC=CP=3 cm, 根據速度公式可求時間，△BCP為等腰三角形；若Р在AB邊上時，有三種情況：②i)若使BP=CB，則BP=3 cm, 則AP長可求，於是P的軌跡長也可求，運用速度公式可求時間，△BCP為等腰三角形；ii)若CP=BC, 過C作斜邊AB的高，根據面積法求得高為2.4cm, 然後根據勾股定理求得BP=3.6 cm，所以Р運動的路程為9-3.6=5.4cm,則用的時間為5.4s, △BCP為等腰三角形；  ili)若CP=BP，此時AP=2.5 cm, 則P的運動的路程可求，所以用的時間為6.5s,△BCP為等腰三角形。
 （3） 分兩種情況討論，①當Р點在AC上，Q在AB上, 則PC=t,BQ=2t-3, 根據直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，可得t＋2t-3+3=6, 從而求得t ; ②當Р點在AB上，Q在AC上, 則AP=t-4,AQ=2t-8，根據直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分，可得t-4+2t-8=6, 求得t即可.

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