問題引出：
傳說公元前5世紀的時候，得洛斯地方的人遭遇瘟疫。求教巫神，巫神告訴他們，應該把現有的立方祭壇的體積加倍，但不改變祭壇的形狀，得洛斯人解決不了這個問題，於是就去找柏拉圖，柏拉圖告訴他們說巫神之意並不在於要雙倍大的祭壇，而只是藉此譴責希臘人不重視數學。柏拉圖是那個時代最有學問的人，但他不是數學家，柏拉圖後來沒能解決被倍立方體問題。
倍立方體是希臘人數學作圖的延伸，古希臘三大幾何作圖問題是數學史上璀璨的一筆，歷史上無數數學家為之傾倒，前僕後繼，這三大幾何問題催生了一大批數學發現，圓錐曲線、數論、群論的產生都與之有關。
柏拉圖雖然沒能解決這個問題，但是公元前四世紀時幾乎所有重要的數學工作都是柏拉圖的朋友和學生研究出來的。
柏拉圖學派的研究進展：
柏拉圖學派柏拉圖出身名門，公元前387年左右，柏拉圖在雅典創立了柏拉圖學院
在古希臘時期，數學和哲學是柏拉圖學院的最受喜愛的學科，整個亞歷山大時代學院領導的哲學界，維持了900年之久。
柏拉圖學派的最重要發現是圓錐曲線，古希臘數學家梅內克繆斯是柏拉圖學派中的一員，也是歐多克索斯的學生，歐多克索斯是古希臘時代最偉大的數學家，並在整個古代僅次於阿基米德。
梅內克繆斯是這樣定圓錐曲線的：利用三種圓錐，直角的、鈍角的和銳角的圓錐，再用垂直於錐面一條母線的平面來截每個錐面，分別得到了三類圓錐曲線：直角圓錐曲線、銳角圓錐曲線、鈍角圓錐曲線，即今日之拋物線、橢圓、一支等軸雙曲線，當時他只知道雙曲線的一支，而後梅內克繆斯利用一條拋物線和一條雙曲線的交點去解決立方倍體問題。
阿波羅尼斯的圓錐曲線研究：
何其幸哉!古希臘時期學者們數學工作的精華，幸運地在歐幾裡德和阿波羅尼斯兩個人的著作中流傳至今，他們的著作《何原本》和《圓錐曲線》堪稱古希臘雙壁，兩本書其實都可以視作對古希臘時期數學成果的一個總結。
歐基裡德和阿波羅尼斯據說都是柏拉圖學院的學生，阿波羅尼斯也承認，在他編寫的八篇圓錐曲線中，前四篇就是歐幾裡德寫的圓錐曲線論的修訂本，阿波羅尼斯處理圓錐曲線的方法，與梅內克繆斯、歐幾裡德、阿基米德等前人的方式不同，他不是用三個圓錐，而是用一個圓錐，只要改變截面的位置，就能產生三種曲線，他最先發現雙曲線是有心曲線，並有兩個分支。
阿波羅尼斯的主要成就是建立了完美的圓錐曲線論，總結了前人在這方面的工作，加上自己的研究成果，撰成圓錐曲線八卷，將圓錐曲線的性質網羅殆盡，以致後代學者在1800年間內對圓錐曲線幾乎沒有什麼進展。
圓錐曲線第一定義：
直到16世紀，德國的數學家克卜勒研究日心說，提出行星按照橢圓軌道繞太陽運行，這樣圓錐曲線就成為天體運動的普遍形式，義大利的伽利略得出斜拋運動的軌道是拋物線，突破了靜態圓錐曲線的觀念，人們對圓錐曲線的處理方式開始有了變化。
法國數學家洛必達藉助解析幾何思想，推到了橢圓方程，Dandelin利用Dandelin雙球，直接在圓錐上做出了橢圓截面的焦點。