朗道《場論》的些許回顧，以及由相對論引發對物理定律協變性的認識
作者：霄河夜曾鳴
從大二開始入坑，也不知是怎麼過來的，在場論上所花費的時間精力，還有因為需要參考的張量、相對論、電動力學、黎曼幾何和引力的書。也就是一本科生從零開始到第一次學習場論的階段結束的小事兒朗道集結號
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朗道《場論》讀了沒一年，起碼也有十個月了，感覺真的好久好久，當時剛剛去看場論的時候不算是從零開始也差不多了，因為場論需要的緣故去看張量、相對論、電動力學、黎曼幾何、引力的東西，有些是提前學習，有些應該不在本科的範圍內，也不知道怎麼就這麼過來了。回想起來應該是當時大二開始讀的時候，頭兩章一方面覺得自己讀得懂，另一方面的確有被吸引住，於是，於是。。。就入坑了。。。整本書反反覆覆翻了許多遍卻從沒有完整地啃下來，經常重頭來過，所以一直也不敢說第一次的學習結束了，充其量就是第一次看的時間久了點。。直到上個月突破引力坍縮的瓶頸，覺得之後可以再找個幾天時間把場論從頭翻一遍想一遍就好了，終於有點希望曙光看到了。然後國慶回來直到今天結束，就特別激動，特想寫一下，因為大概未來兩年內沒有時間機會再細讀場論了。限於篇幅和自身的水平，在場論依舊還有很多不懂不通的地方，當然其實即便是覺得懂了也未必懂，只當留個紀念。一年來對相對論紙上談兵的回顧總結，還有朗道場論裡面特別不一樣的，讓我跪伏的地方。在當中，泡利的《相對論》對我的啟發和幫助很大，特別我感覺兩本書都十分注意圍繞和突出物理定律的協變性，只是對引力部分的內容顯得落後了。場論的確是一部天才之作，朗道對物理理論深刻的洞察，系統的表述，對語言的把握會讓每一個人都羨慕吧。
相對性原理：所有自然定律在所有慣性參考系中都是相同的。不同的事件在四維時空（閔可夫斯基表述四維時空流形為世界）中間隔不變。結合相互作用傳播速度無限大的假設稱為伽利略相對性，參考系之間的坐標變換遵循伽利略變換，時間概念是絕對的，這樣的參考系就被稱為伽利略參考系。伽利略的相對性原理在過去成功之處為經典力學表現協變性，但麥克斯韋方程組在伽利略變換中表現為非協變性（在洛倫茲變換中兩者卻表現相反）。現在我們都知道相互作用傳播不是瞬時的，應該存在最大相互作用傳播速度，所以經典力學只是在低速情況足夠精確。場論特別指出注意：最大傳播速度的存在暗示著自然界中物體的運動速度不可能大於這個速度。這也好理解，後一時刻物體發生變動所傳播的信號不會比前一時刻先到達，總是不違背因果性的；所以物體不能超光速運動；但伽利略相對性卻是與此相違背的。
相對性原理結合相互作用傳播速度的有限性稱為愛因斯坦相對性，為滿足間隔不變與麥克斯韋方程組的協變性，四維時空不是真歐幾裡得空間，而是基於更普遍的仿射空間的偽歐幾裡得空間——閔可夫斯基空間[1]，參考系之間的坐標變換遵循洛倫茲變換，數學上表示為四維時空軸之間的旋轉變換（閔可夫斯基指出）。並且相對論中時間的概念不是絕對的：場論指出在絕對時間的基礎上，由經典力學的速度合成法則獲得在不同慣性參考系中的傳播速度不同，就不存在相互作用的最大傳播速度，與愛因斯坦相對性違背（麥可遜－莫雷實驗也證明光速在不同慣性系和不同傳播方向是相同的）。場論也特別指出相對論的速度合成的不對稱與洛倫茲變換的非對易性。現在我們知道了相對性原理同相互作用的傳播速度有限結合起來就是狹義相對論，即所有物理定律在洛倫茲變換下都具有協變性。
場論關於相對論力學部分篇幅不長卻充滿理論物理的簡潔與和諧。第一性原理出發和先行的物理直覺，顛覆讀者原有世界觀的同時又將矛盾統一起來，特別在下面電磁場部分，特別體現理論物理的美——統一和對稱。因為相對論力學同樣滿足最小作用量原理，並且作用量積分對於洛倫茲變換保持不變，故作用量必是一個標量函數和一階微分；對於一個自由粒子，標量函數必是間隔，在過渡到經典力學確定準確形式，由此獲得了相對論力學的拉格朗日函數。
第一次讀場論的電磁場部分的時候就覺得這又是朗道卓爾不群的藐視其他物理書，原因有二吧。第一，場論的電磁場理論建立在四維空間和狹義相對論基礎上。在場論的序言摘錄就闡述了完整的、邏輯上嚴謹的驗證電磁場理論本身就包含了狹義相對論。在四維視角的電磁場理論必涉及勢和場的洛倫茲變換，有助於解釋和理解場分解為電場和磁場只有相對意義[2]。場論的脈絡就完全與一般的電動力學書相反，但不得不承認很成功。第二，基本計算都建立在張量分析基礎上，在真歐式空間（包括復歐式空間）中矢量不需區分逆變矢量與協變矢量，但在閔可夫斯基空間中度規為-1的指標的上升或下降需要改變符號，因此做這樣的區分就十分重要並且有必要，特別是在廣義相對論中將引力幾何化更是如此。從變換群的角度上說，我們必須區別函數行列式為+1的正常正交變換群和還包含有函數行列式為-1的更廣泛的混合正交變換群[3]。洛倫茲群的不變式理論具有四維矢量和張量計算的形式。
在這兒就是讓我覺得最驚豔的地方了：最小作用量原理推導麥克斯韋方程組。在推導運動方程的時候認為場是已知的，只變分粒子的軌道；那在給定電磁場中運動電荷的作用量由自由粒子作用量、粒子與場的相互作用量組成；前者在相對論力學已經知道全部內容，後者則必包括表徵粒子的量和表徵場的量。場的性質由四維勢表徵，在這裡用勢表徵不但有數學上的方便，也更具有物理真實性[4]。在三維形式下分解四維勢為標勢和使矢勢，獲得了作用量形式，就知道了在給定電磁場中運動粒子的拉格朗日量和運動方程。實際上也就是第一對麥克斯韋方程組。在四維形式下使用最小作用量原理就獲得了四維形式的電荷運動方程和電磁場張量，而電磁場張量是一反對稱張量，電磁場的能量動量張量是一對稱張量，形式對稱，物理意義明顯。在推導場方程，即第二對麥克斯韋方程組的時候，認為電荷運動已知的，只變分勢；因為電磁場滿足疊加原理，故場方程必是線性微分方程組，則作用量必是場的二次式構成的標量，形式就是電磁場張量的四維標量。對於電磁場來說知道麥克斯韋方程組就獲得了相關的所有知識。而在輻射的內容中讓我感到尤為不同的是在輻射中經常使用譜分解。
狹義相對論是基於相對性原理的，只對於慣性系物理規律成立，即只適用於慣性系。但愛因斯坦在1916年的長篇論文《廣義相對論基礎》中提出：「要用在所有坐標系中都成立的方程來表述自然的普遍定律，就是說，它對於任何變換都是協變的（廣義協變）。」（在這裡場論提出注意：具體的物理現象，包括物體運動的性質，在所有的參考系中是不同的）那麼基於等效原理[5]以及從引力質量和慣性質量等同出發，將引力場幾何化。由引力場變換到非慣性參考系等效的場，時空度規則決定曲線坐標系的所有幾何特性，這個時空度規實際上就是黎曼度規。實際上通過黎曼幾何，我們看到有引力存在（有物質存在）的空間存在一個非零的曲率張量，故而時空是彎曲的而不是平直的[6]；在引力場中的物體遵循測地線運動，測地線上矢量的協變導數為零，即測地線是引力場中的極值曲線。場論指出不可能用任何坐標變換使決定其度規的量在整個時空都化為伽利略坐標的值，這樣的時空稱為彎曲時空（將黎曼度規的十個獨立各量通過坐標變換到伽利略坐標的值一般是做不到的）而這在平直空間中是可以做到的。通過變分引力場的作用量與物質的作用量就獲得了愛因斯坦方程（引力場方程），方程的左邊是代表空間曲率的曲率項，方程右邊是物質的能量動量張量。方程的係數由近似情況下牛頓的引力理論確定，但愛因斯坦的引力理論得到不一樣的結果，比如討論引力勢我們知道在史瓦西場運動的粒子，只要能量足夠大就會墜落在引力源。在中心對稱情形下求解愛因斯坦引力場方程這一非線性方程，我們在史瓦西球上獲得引力坍縮和黑洞的相關內容。場論裡關於引力的內容感覺下來就是也具有朗道風格，但好像沒怎麼特別感覺到那種對全書系統的把握，可能是後面增補的緣故，也是因為引力的確十分抽象，不懂不通之處也大多在此。而據我所知，做引力的人也真的很少很少，不過今年據說發現了原初引力波的證據，如果證實又是廣義相對論理論的一大成功之處啊。
甲午年九月十一
雲霄於家中展書重翻場論回顧懷念留
[1].仿射空間中非對角元為0，對角元為 的度規空間稱為歐式空間；度規所有對角元具有相同符號稱為真歐式空間，同時具有不同符號稱為偽歐式空間；度規中三個對角元有相同符號，另一個具有不同符號稱為閔可夫斯基空間。
[2].電場或磁場在某一慣性系不存在，卻同時在另一慣性系存在；或是在某一慣性系運動的磁鐵引起感應現象，在另一慣性系導體運動產生感生電流。
[3].在泡利的相對論中首次看到這個概念，更詳盡的內容參考了Jackson的經典電動力學，下冊第11章11.7洛倫茲變換的矩陣表示；無窮小生成元（1980年12月印刷），其中稱為正常洛倫茲變換、非正常洛倫茲變換；前者相當於連續施以恆等變換，後者在空間反演和時間反演中取不同符號。但在場論中並不重要。
[4].在經典的洛倫茲的理論中，四維矢勢是一個非常有用的數學輔助函數，但卻沒有直接的物理意義。但在量子力學的A-B效應卻指出勢具有可觀測的物理真實性。勢是比場更重要的真實物理量。
[5]場論指出，與非慣性參考系等效的場其實並不完全與「實際的」引力場一樣。在與產生場的物體的無窮遠處，「實際的引力場」總是趨於零，與非慣性系等效的場在無窮遠處無限制地增大或者總保持有限值。選擇適當的參考系只能消除空間中某一小區域內的引力場。
[6]彎曲時空是完全不同於歐幾裡得空間的，在完全空間中的直線在浸沒於更高階的平直空間中是曲線；在沿閉合迴路平行運動的矢量回到起點與原來矢量不重合；按照歐幾裡得幾何定義的幾何圖形會發生偏差：三角形內角之和不為PI，遠的周長與半徑之比不為2PI等等。
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