量子力學筆記12---波動力學-測不準原理

海森堡：「在每一個嶄新的認識階段，我們永遠應該以哥倫布為榜樣，他勇於離開他已熟悉的世界，懷著近乎狂熱的希望到大洋彼岸找到了新大陸。」

2.10 不確定性原理

      現在來考查兩個算符不對易的情況。在上述討論中得知，如果算符 Aˆ 和 Bˆ 是不對易的，則它們不具有共同的本徵函數。這樣在 Aˆ 的本徵態中，力學量 B 不具有確定值；同樣在 Bˆ 的本徵態中，力學量 A 不具有確定值。那麼在同一個量子態 |Ψ⟩ 中，兩個不對易算符所表示的力學量有怎樣的不確定行為？本節的重點就是要對這種不確定性進行公式化描述，建立一個描述力學

量不確定行為的關係式，這就是所謂海森堡「測不準關係」。它在理論層面上被稱為海森堡「測不準原理」——一個揭示微觀世界不確定性本質的物理學原理。

2.10.1 多種推導

2.10.1.1 一般性推導

      在物理學發展中，揭示自然界運動規律的關係式都是確定性的，它們都是含有「=」（等號）的方程式。例如，牛頓第二定律方程，麥克斯韋電磁場和電磁波方程，愛因斯坦引力場方程，量子力學薛定鄂方程等。而對於微觀世界不確定性的描述，將創造出一個與眾不同的含有「⩾」（不等號）的關係式，這就是量子力學的測不準關係。下面我們首先介紹測不準關係的一般推導方法。

      設厄米算符 A 和 B 的對易關係為

這裡，C 是一個算符或常數。算符 A 和 B 在一個量子態 |Ψ⟩ 中的期待值分別為

      定義「偏差算符」：

這兩個算符的對易關係與 [A, B] 相同。

證明：

得證。

      現在考慮積分

      式中，β 是一個實參數，積分區域是變量變化的整個空間。因為被積函數是絕對值的平方，所以積分 I(β) 為非負值。將積分中的平方項展開，我們有

      這是一個關於 β 的二次三項式。其中，δA 和 δB 是厄米的，(δA) = (δA)†，(δB) = (δB)†；δAδB − δBδA = iC；⟨C⟩ = ⟨Ψ|C|Ψ⟩。於是根據（2.436）式，有

以上不等式成立的條件是係數滿足關係式 ⟨C⟩2 − 4⟨(δA)2⟩⟨(δB)2⟩ ⩽ 0，即

      這是基於偏差算符 δA 和 δB 所得到的測不準關係，還可以進一步被簡化。考查算符 (δA)2 在態 |Ψ⟩ 中的期待值

      因為 ⟨(δA)2⟩ ⩾ 0，我們可以引入

      注意，雖然 ⟨(δA)2⟩ = (∆A)2，但是前者是算符期待值的形式而後者是一個非負數（它的平方根形式 ∆A 可直接寫出）。於是，有

      這就是厄米算符 A 和 B 所滿足的測不準關係，它是一種標準、簡潔的形式，由德國海森堡在1927 年創立。測不準關係表明，由於算符 A 和 B 不對易，它們所表示的力學量在同一個量子態 |Ψ⟩ 中不能同時被測定。而力學量的不確定行為表現為不確定度 ∆A 和 ∆B 的乘積不能小於正數 ⟨C⟩/2。這意味著，如果力學量 A 的不確定度 ∆A 越大，則力學量 B 的不確定度 ∆B 越小，反之亦然。不確定關係中相應於等號的量子態具有最小不確定度乘積 ∆A∆B = ⟨C⟩/2，稱為「最小測不準態」。在經典物理學中力學量用函數表示，任意兩個力學量之間都是對易的，即 C = 0。因此∆A∆B = ⟨C⟩/2 所描述的最小測不準態是最接近經典行為 C = 0 的量子態。

坐標和動量的測不準關係   將測不準關係應用於坐標和動量，即 A = x，B = p，由於 [x, p] = iℏ，有 C = ℏ，於是

      這就是坐標與動量這一對共軛量所滿足的測不準關係。坐標的不確定範圍 ∆x 越小，則相應的動量的不確定範圍 ∆p 越大。∆x 與 ∆p 不能同時為零，當一個為零時，另一個必須為無窮大。

角動量分量的測不準關係   由角動量分量對易關係，有

      這意味著，如果角動量的一個分量有確定值，則另外兩個分量都沒有確定值。如 Lz 有確定值，則 Lx 和 Ly 都沒有確定值。試想其中的一個（如 Lx）也有確定值，那麼 Lz 和 Lx 之間就是對易的，這就產生了矛盾。簡單說，一個微觀粒子沒有一個確定的角動量，而只有一個確定的分量。因此，Lz 可以直接被稱為角動量，而不必稱為角動量的 z 分量。因為如果有了確定的角動量 Lz，就談不上確定的角動量 Lx 和 Ly。而動量的情況與角動量不同，px、py、pz 之間是相互對易的，因此一個微觀粒子可以有一個確定的動量矢量。

2.10.1.2 矢量模型推導

      我們用矢量模型推導測不準關係。為此首先證明施瓦茨不等式（Schwarz inequality）：若 |ψ⟩ 和 |ϕ⟩ 是任意兩個態矢量（均未歸一化），則

      式中，等號對應於 ψ = ϕ。

證明：令 ⟨ψ|ψ⟩ = a(a > 0)，⟨ϕ|ϕ⟩ = b(b > 0)，⟨ψ|ϕ⟩ = c （一般為複數），並引入量子態|β⟩ = |ϕ⟩ − c/a|ψ⟩有 ⟨β|β⟩ ⩾ 0，這裡等號對應於 ψ = ϕ。而

於是，有

即

得證。

      設厄米算符 A 和 B 的對易關係為 [A, B] = iC，現在利用施瓦茨不等式來推導測不準關係∆A∆B ⩾⟨C⟩2 。用算符 A + iλB（λ 是任意實數）作用於任意態矢量 |ψ⟩，給出另一個態矢量 ϕ：

它向態矢量 ⟨ψ| 投影，得到

兩邊取絕對值的平方，有

另一方面，|ϕ⟩ 的復共軛為 ⟨ϕ| = ⟨ψ|(A† − iλB†)，它與 |ϕ⟩ 的F積為

      因為 A 和 B 均為厄米算符，A† = A，B† = B，並利用對易關係 [A, B] = iC，有

以上平均值都是在 ψ 態中計算的。將 ⟨ϕ|ϕ⟩ 和 ⟨ψ|ϕ⟩ 代入施瓦茨不等式，有

      現在不失一般性地取 |ψ⟩ 為歸一化態矢量，即 ⟨ψ|ψ⟩ = 1，則有

令

有

      由於 λ 為任意實數，取 λ = ∆A/∆B，得

      這就是厄米算符 A 和 B 的測不準關係。當測不準關係取等號時，對應於 ψ = ϕ，由（2.446），有

      現在 |ψ⟩ 是一個最小測不準態，上式顯示它是算符 A + iλB 的本徵態。顯然，A + iλB 是一個非厄米算符，這類算符的一個典型例子是湮滅算符，而湮滅算符的本徵態證實一個最小的測不準態。

2.10.1.3 傅立葉變換推導

      我們將對於任意波函數 f(x) 推導出坐標和動量的測不準關係。推導的基礎是傅立葉變換理論和 Plancherel 定理以及施瓦茨不等式的積分形式。施瓦茨不等式的積分形式為

      設 f(x) 為任意波函數，對

作分部積分，有

      其中用到波函數的有限性，即，當 x → ±∞ 時，f(x) → 0。不失一般性地取 f(x) 為歸一化波函數，則

        式中，右邊的被積函數具有 z + z∗ 的形式，這裡 z = xf ∗(x)f′(x)。利用 z + z∗ = 2Re(z)，得

      對上式兩邊平方，並注意到 Re(z) ⩽ |z|，再利用施瓦茨不等式積分形式，有

      利用導數 f′(x) 的傅立葉變換

其中 F(ω) 是 f(x) 的傅立葉變換。這公式怎麼來的？利用

有

代入（2.460）式，得

      另外由於 |f(x)|2 和 |c(p)|2 均為偶數，則 ⟨x⟩ = 0，⟨p⟩ = 0，於是給出測不準關係式

2.10.2 能量—時間測不準關係

2.10.2.1 一個簡單的推導方法

      設一個自由粒子波包以速度 v 沿 x 方向傳播。它通過一個空間點 A 持續的時間為

      其中，∆x 是自由粒子波包的寬度。

另一方面，自由粒子能量—動量關係為

對上式兩邊取變化量（即不確定度），得到

結合（2.466）式和（2.468）式，得

利用坐標—動量的測不準關係

得

      即得到能量—時間的測不準關係。從上述推導過程說明，能量—時間測不準關係是坐標—動量測不準關係的推論。

2.10.2.2 作為一般性測不準關係的推論

      從坐標—動量測不準關係推導出能量—時間測不準關係畢竟是特例，這裡將直接從測不準關係的一般性表達式推導出能量—時間測不準關係。

將一般性測不準關係表達式 ∆A∆B ⩾⟨C⟩2 改寫為

並注意到海森堡運動方程

      其中算符 Fˆ 不顯含時間。將（2.471）式中的任意算符 A 和 B 分別取為（2.472）中的兩個算符，即 A = Hˆ，B = Fˆ，則有

其中

結合（2.473）式和（2.472）得

這樣

      由於 ∆Hˆ 表示體系能量的不確定範圍，因此可以寫為 ∆Hˆ = ∆E。另一方面

於是，有

這就是能量—時間測不準關係。從推導過程可以看出，它是一般測不準關係的推論。

2.10.2.3 從相對論推導測不準關係

      按相對論考查一個運動中的粒子，它的能量與動量的關係為

     上式兩邊取變化量（即不確定度），由於粒子的靜止質量 m0 和光速 c 均為常數，有

      粒子在 ∆t 時間內的坐標變化量為

即

      將（2.480）式和（2.482）式相乘，並利用相對能量—質量關係

E = mc2，得

我們再次看到，能量—時間測不準關係是坐標—動量測不準關係的推論。