15、高考大題專項(一)　導數的綜合應用

從近五年的高考試題來看,對導數在函數中的應用的考查常常是一大一小兩個題目,其中解答題的命題特點是:以三次函數、對數函數、指數函數及分式函數為命題載體,以切線問題、單調性問題、極值最值問題、恆成立問題、存在性問題、函數零點問題為設置條件,與參數的範圍、不等式的證明

方程根的分布綜合成題,重點考查學生應用分類討論思想、函數與方程思想、數形結合思想及轉換與化歸思想來分析問題、解決問題的能力.

1.常見恆成立不等式

(1)ln x≤x-1;(2)ex≥x+1.

2.構造輔助函數的四種方法

(1)移項法:證明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的問題轉化為證明f(x)-g(x)>0(f(x)-g(x)<0),進而構造輔助函數h(x)=f(x)-g(x);

(2)構造「形似」函數:對原不等式同解變形,如移項、通分、取對數等,把不等式兩邊變成具有相同結構的式子,根據「相同結構」構造輔助函數;

(3)主元法:對於(或可化為)f(x1,x2)≥A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構造函數f(x,x2)(或f(x1,x));

(4)放縮法:若所構造函數的最值不易求解,可將所證明的不等式進行放縮,再重新構造函數.

3.函數不等式的類型與解法

(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;

(2)∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;

(3)∀x∈D,f(x)≤g(x)⇐f(x)max≤g(x)min;

(4)∃x∈D,f(x)≤g(x)⇒f(x)min≤g(x)max.

4.含兩個未知數的不等式(函數)問題的常見題型及具體轉化策略

(1)∀x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值;

(2)∃x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值;

(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值;

(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值;

(5)∃x1∈[a,b],當x2∈[c,d]時,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域與g(x)在[c,d]上的值域的交集非空;

(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]上的值域;

(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]上的值域.

突破1導數與函數的單調性

題型一 求函數的單調性

解題心得利用導數求函數單調區間的方法

(1)當導函數不等式可解時,解不等式f&39;(x)<0,求出單調區間.

(2)當方程f&39;(x)的符號,從而確定單調區間.

(3)若導函數的方程、不等式都不可解,將f&39;(x)的正負及g(x)的零點判斷出g(x)的正負,進而得出f&39;(x)中含有參數不容易判斷其正負時,需要對參數進行分類討論,分類的標準:(1)按導函數是否有零點分大類;(2)在大類中按導函數零點的大小分小類;(3)在小類中按零點是否在定義域中分類.

題型三 根據函數的單調性證明不等式

解題心得

通過對函數f(x)一次求導或兩次求導的方法得到f(x)的單調性,由函數f(x)的單調性證出關於f(x)的函數不等式.

突破2 利用導數研究函數的極值、最值

題型一 討論函數極值點的個數

解題心得利用導數求含參數的原函數的單調區間→極值→最值→恆成立問題的步驟:

1.求函數定義域;

2.求導→通分或因式分解或二次求導(目的:把導函數「弄熟悉」);

3.對參數分類,分類的層次:

(1)按導函數的類型分大類;

(2)按導函數是否有零點分小類;

(3)在小類中再按導函數零點的大小分小類;

(4)在小類的小類中再按零點是否在定義域中分小類.

題型二 求函數的極值最值

解題心得

1.由導函數圖象判斷函數y=f(x)的極值,要抓住兩點:

(1)由y=f&39;(x)的圖象可以看出y=f&39;(x)易求,g'(x)=0可解),轉化為確定g(x)的零點個數問題求解,利用導數研究該函數的單調性、極值,並確定定義區間端點值的符號(或變化趨勢)等,畫出g(x)的圖象草圖,數形結合求解函數零點的個數.

(2)利用零點存在性定理,先用該定理判斷函數在某區間上有零點,然後利用導數研究函數的單調性、極值(最值)及區間端點值的符號,進而判斷函數在該區間上零點的個數.

解題心得討論函數零點個數的基本思想是數形結合思想,利用導數研究函數的單調性和極值,根據極值和一些函數值的正負結合函數的單調性模擬函數的圖象,根據函數圖象與x軸的交點確定零點的個數.

題型二已知函數零點個數求參數範圍

解法一

解法二

解法三

解題心得已知函數有零點求參數取值範圍常用的方法和思路

(1)分類討論法:分類討論就是將所有可能出現的情況進行分類,然後逐個論證,它屬於完全歸納.

(2)分離參數法:先將參數分離,轉化成求函數值域問題加以解決;

(3)數形結合法:利用導數研究函數的單調性和極值,利用函數的單調性模擬函數的圖象,根據函數零點的個數的要求,控制極值點函數值的正負,從而解不等式求出參數的範圍.

題型三 與函數零點有關的證明